Question

如图，在锐角△ABC中，AD是BC边上的高线，矩形EFGH的顶点E，H分别在AB，AC上，F，G在BC边上，AD与EH相交于点K．
（1）如图1，若BC=10，AD=5，EH=2EF，求EF，EH的长．
（2）如图2，若BC=AD=8，求矩形EFGH的周长．
（3）如图3，若四边形EFGH是边长为4的正方形，且S_△AEH：S_△HGC：S_△BEF=1：1：3，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据相似三角形对应边比例相等性质即可解题；
（2）根据相似三角形对应边比例相等性质可解；
（3）根据相似三角形对应边比值相等可以求得AK的值，即可求△ABC的面积．

解答：解：（1）∵矩形EFGH，
∴EH∥BC，AK=AD-KD=AK-EF，
∴

AK

AD

=

EH

BC

=

AD-EF

AD

，
∵EH=2EF，
∴AK=EF=

5

2

，EH=2EF=5；
（2）∵

EF

AD

=

BF

BD

，

GH

AD

=

CG

CD

，
∴

BF

BD

=

CG

CD

=

EF

AD

，
∴

FG

BC

=1-

BF+CG

BC

，
∴

EF

AD

+

FG

BC

=1，
∵AD=BC
∴EF+FG=AD=8，
∴矩形EFGH的周长为16．
（3）设AK=x，
∵S_△AEH：S_△HGC：S_△BEF=1：1：3，
∴AK：GC：BF=1：1：3，
∵

AK

AD

=

EH

BC

，
∴

x

x+4

=

4

3x+x+4

，
解得x=2，
∴△ABC的面积为

1

2

BC•AD=

1

2

×12×6=36．

点评：本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，考查了三角形面积的计算．