Question

（2013•北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y=-x-1，双曲线y=

1

x

，在l上取一点A₁，过A₁作x轴的垂线交双曲线于点B₁，过B₁作y轴的垂线交l于点A₂，请继续操作并探究：过A₂作x轴的垂线交双曲线于点B₂，过B₂作y轴的垂线交l于点A₃，…，这样依次得到l上的点A₁，A₂，A₃，…，A_n，…记点A_n的横坐标为a_n，若a₁=2，则a₂=

-

3

2

，a₂₀₁₃=

-

1

3

；若要将上述操作无限次地进行下去，则a₁不可能取的值是

0、-1

．

Answer 1

分析：求出a₂，a₃，a₄，a₅的值，可发现规律，继而得出a₂₀₁₃的值，根据题意可得A₁不能在x轴上，也不能在y轴上，从而可得出a₁不可能取的值．

解答：解：当a₁=2时，B₁的纵坐标为

1

2

，
B₁的纵坐标和A₂的纵坐标相同，则A₂的横坐标为a₂=-

3

2

，
A₂的横坐标和B₂的横坐标相同，则B₂的纵坐标为b₂=-

2

3

，
B₂的纵坐标和A₃的纵坐标相同，则A₃的横坐标为a₃=-

1

3

，
A₃的横坐标和B₃的横坐标相同，则B₃的纵坐标为b₃=-3，
B₃的纵坐标和A₄的纵坐标相同，则A₄的横坐标为a₄=2，
A₄的横坐标和B₄的横坐标相同，则B₄的纵坐标为b₄=

1

2

，
即当a₁=2时，a₂=-

3

2

，a₃=-

1

3

，a₄=2，a₅=-

3

2

，
b₁=

1

2

，b₂=-

2

3

，b₃=-3，b₄=

1

2

，b₅=-

2

3

，
∵

2013

3

=671，
∴a₂₀₁₃=a₃=-

1

3

；
点A₁不能在y轴上（此时找不到B₁），即x≠0，
点A₁不能在x轴上（此时A₂，在y轴上，找不到B₂），即y=-x-1≠0，
解得：x≠-1；
综上可得a₁不可取0、-1．
故答案为：-

3

2

、-

1

3

；0、-1．

点评：本题考查了反比例函数的综合，涉及了点的规律变化，解答此类题目一定要先计算出前面几个点的坐标，由特殊到一般进行规律的总结，难度较大．