Question

（2013•北京）如图AB是⊙O的直径，PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E．
（1）求证：∠EPD=∠EDO；
（2）若PC=6，tan∠PDA=

3

4

，求OE的长．

Answer 1

分析：（1）根据切线长定理和切线的性质即可证明：∠EPD=∠EDO；
（2）连接OC，利用tan∠PDA=

3

4

，可求出CD=4，再证明△OED∽△DEP，根据相似三角形的性质和勾股定理即可求出OE的长．

解答：（1）证明：PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，
∴∠APO=∠EPD且PA⊥AO，
∴∠PAO=90°，
∵∠AOP=∠EOD，∠PAO=∠E=90°，
∴∠APO=∠EDO，
∴∠EPD=∠EDO；

（2）解：连接OC，
∴PA=PC=6，
∵tan∠PDA=

3

4

，
∴在Rt△PAD中，AD=8，PD=10，
∴CD=4，
∵tan∠PDA=

3

4

，
∴在Rt△OCD中，OC=OA=3，OD=5，
∵∠EPD=∠ODE，
∴△OED∽△DEP，
∴

PD

DO

=

PE

DE

=

ED

OE

=2，
在Rt△OED中，OE²+DE²=5²，
∴OE=

5

．

点评：本题综合考查了切线长定理，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力．