Question

18．定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”
性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．
理解：
如图①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S_△ACD=S_△BCD．
应用：
如图②，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O．
（1）求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”；
（2）连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积．
探究：
在△ABC中，∠A=30°，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A′CD，若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的$\frac{1}{4}$，请直接写出△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形ABFE是平行四边形，然后根据平行四边形的性质证得OE=OB，即可证得△AOE和△AOB是友好三角形；
（2）△AOE和△DOE是“友好三角形”，即可得到E是AD的中点，则可以求得△ABE、△ABF的面积，根据S_{四边形CDOF}=S_矩形ABCD-2S_△ABF即可求解．
探究：画出符合条件的两种情况：①求出四边形A′DCB是平行四边形，求出BC和A′D推出∠ACB=90°，根据三角形面积公式求出即可；
②求出高CQ，再求出△A′DC的面积，即可求出△ABC的面积．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∵AE=BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴OE=OB，
∴△AOE和△AOB是友好三角形．
（2）解：∵△AOE和△DOE是友好三角形，
∴S_△AOE=S_△DOE，AE=ED=$\frac{1}{2}$AD=6，
∵△AOB与△AOE是友好三角形，
∴S_△AOB=S_△AOE，OB=OE，
在△AOE与△FOB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=BF}\\{∠AEO=∠OBF}\\{OB=OE}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△FOB（SAS），
∴S_△AOE=S_△FOB，
∴S_△AOD=S_△ABF，
∴S_{四边形CDOF}=S_矩形ABCD-2S_△ABF=8×12-2×$\frac{1}{2}$×8×6=48；
探究：
解：分为两种情况：①如图1所示，
∵S_△ACD=S_△BCD．
∴AD=BD=$\frac{1}{2}$AB，
∵沿CD折叠A和A′重合，
∴AD=A′D=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×4=2，
∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的$\frac{1}{4}$，
∴S_△DOC=$\frac{1}{4}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$S_△BDC=$\frac{1}{2}$S_△ADC=$\frac{1}{2}$S_△A′DC，
∴DO=OB，A′O=CO，
∴四边形A′DCB是平行四边形，
∴BC=A′D=2，
过B作BM⊥AC于M，
∵AB=4，∠BAC=30°，
∴BM=$\frac{1}{2}$AB=2=BC，
即C和M重合，
∴∠ACB=90°，
由勾股定理得：AC=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴△ABC的面积是$\frac{1}{2}$×BC×AC=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$；
②如图2所示，
∵S_△ACD=S_△BCD．
∴AD=BD=$\frac{1}{2}$AB，
∵沿CD折叠A和A′重合，
∴AD=A′D=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×4=2，
∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的$\frac{1}{4}$，
∴S_△DOC=$\frac{1}{4}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$S_△BDC=$\frac{1}{2}$S_△ADC=$\frac{1}{2}$S_△A′DC，
∴DO=OA′，BO=CO，
∴四边形A′BDC是平行四边形，
∴A′C=BD=2，
过C作CQ⊥A′D于Q，
∵A′C=2，∠DA′C=∠BAC=30°，
∴CQ=$\frac{1}{2}$A′C=1，
∴S_△ABC=2S_△ADC=2S_△A′DC=2×$\frac{1}{2}$×A′D×CQ=2×$\frac{1}{2}$×2×1=2；
即△ABC的面积是2或2$\sqrt{3}$．

点评 本题是四边形综合题目，考查了平行四边形性质和判定、全等三角形的判定与性质、三角形的面积的计算、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质；本题难度较大，综合性强，需要进行分类讨论才能得出结果．