Question

6．已知二次函数y=（t-4）x²-（2t-5）x+4在x=0与x=5的函数值相等．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，一次函数y=kx+b经过B，C两点，求一次函数的表达式；
（3）在（2）的条件下，过动点D（0，m）作直线l∥x轴，其中m＞-2．将二次函数图象在直线l下方的部分沿直线l向上翻折，其余部分保持不变，得到一个新图象M．若直线y=kx+b与新图象M恰有两个公共点，请直接写出m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用x=0和x=5的函数值得到（t-4）•5²-（2t-5）•5+4=4，然后解方程求出t的值即可得到二次函数的解析式为y=x²-5x+4；
（2）根据抛物线与x轴的交点问题求出（1，0），B（4，0），则根据二次函数性质得到c（0，4），然后利用待定系数法求出一次函数解析式为y=-x+4；
（3）先把抛物线解析式配成顶点式得到y（x-$\frac{5}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，则抛物线的顶点E的坐标为（$\frac{5}{2}$，-$\frac{9}{4}$），再根据对称性质确定点E关于直线y=m的对称点F点的坐标为（$\frac{5}{2}$，2m+$\frac{9}{4}$），如图，接着求出二次函数图象在直线l下方的部分沿直线l向上翻折后与直线y=-x+4只有一个公共点时m的值为-$\frac{1}{2}$，然后讨论：当-2＜m＜-$\frac{1}{2}$时，直线y=-x+4与新图象M恰有两个公共点；当m=-$\frac{1}{2}$时，直线y=-x+4与新图象M有3个公共点；当-$\frac{1}{2}$＜m＜0时，直线y=-x+4与新图象M恰有4个公共点；当m=0时，直线y=-x+4与新图象M恰有3个公共点；当0＜m＜4时，直线y=-x+4与新图象M恰有两个公共点；当m＞4时，直线y=-x+4与新图象M没有公共点，从而得到直线y=kx+b与新图象M恰有两个公共点时m的取值范围．

解答 解：（1）根据题意得（t-4）•5²-（2t-5）•5+4=4，解得t=4，
所以二次函数的解析式为y=x²-5x+4；
（2）当y=0时，x²-5x+4=0，解得x₁=1，x₂=4，则A（1，0），B（4，0），
当x=0时，y=x²-5x+4=4，则c（0，4），
把B（4，0），C（0，4）代入y=kx+b得$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
所以一次函数解析式为y=-x+4；
（3）y=x²-5x+4=（x-$\frac{5}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，则抛物线的顶点E的坐标为（$\frac{5}{2}$，-$\frac{9}{4}$），
点E（$\frac{5}{2}$，-$\frac{9}{4}$）关于直线y=m的对称点F点的坐标为（$\frac{5}{2}$，2m+$\frac{9}{4}$），如图，
当二次函数图象在直线l下方的部分沿直线l向上翻折后与直线y=-x+4只有一个公共点时，如图，
此时翻折后的抛物线解析式为y=-（x-$\frac{5}{2}$）²+2m-$\frac{9}{4}$，
所以方程-（x-$\frac{5}{2}$）²+2m-$\frac{9}{4}$=-x+4有相等的实数解，
整理得x²-6x+8-2m=0，△=36-4（8-2m）=0，解得m=-$\frac{1}{2}$，
所以当-2＜m＜-$\frac{1}{2}$时，直线y=-x+4与新图象M恰有两个公共点，它们是点B和C；
当m=-$\frac{1}{2}$时，直线y=-x+4与新图象M有3个公共点，它们是点B和C；
当-$\frac{1}{2}$＜m＜0时，直线y=-x+4与新图象M恰有4个公共点，它们是点B和C；
当m=0时，直线y=-x+4与新图象M恰有3个公共点，它们是点B和C；
当0＜m＜4时，直线y=-x+4与新图象M恰有两个公共点，其中一个是点C，
当m＞4时，直线y=-x+4与新图象M没有公共点，
所以若直线y=kx+b与新图象M恰有两个公共点，则m的取值范围为-2＜m＜-$\frac{1}{2}$或0＜m＜4．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质、抛物线与x轴的交点问题和轴对称的性质；把抛物线与直线的交点问题转化为一元二次方程根的情况进行解决；会利用分类讨论的思想解决数学问题．