Question

6．锐角△ABC中，∠BAC=60°，分别以AB，AC为边向外作正△ABE，△ACD，若AP=4，CP=5，则BP=$\frac{16}{5}$．

Answer 1

分析 利用等边三角形的性质，得到六个角为60°，两对边相等，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形EAC与三角形BAD全等，利用全等三角形的对应角相等得到两对角相等，进而确定出A，E，B，P四点共圆，A，P，C，D四点共圆，利用同弧所对的圆周角得到∠BEC=∠BAP，∠CAP=∠CDP，由内错角相等两直线得到AB与CD平行，利用两直线平行得到内错角相等，利用等式的性质得到两对角相等，进而确定出三角形ABP与三角形CAP相似，由相似得比例，即可求出BP的长．

解答 解：∵正△ABE与正△ACD，
∴∠AEB=∠EAB=∠ABE=∠CAD=∠ADC=∠ACD=60°，AE=BE，AD=AC，
∴∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，
在△EAC和△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{EA=AB}\\{∠EAC=∠BAD}\\{AC=AD}\end{array}\right.$，
∴△EAC≌△BAD（SAS），
∴∠EAC=∠ABD，∠ACE=∠ADB，
∴A，E，B，P四点共圆，A，P，C，D四点共圆，
∴∠APB=∠APC=120°，∠BEC=∠BAP，∠CAP=∠CDP，
∵∠BAC=∠ACD=60°，
∴AB∥CD，
∴∠ABP=∠CDP，
∴∠ABP=∠CAP，
∴∠ABP+∠BAP=60°，∠CAP+∠ACP=60°，
∴∠BAP=∠ACP，
同理∠ABP=∠CAP，
∴△ABP∽△CAP，
∴$\frac{AP}{CP}$=$\frac{BP}{AP}$，
则BP=$\frac{A{P}^{2}}{CP}$=$\frac{16}{5}$．
故答案为：$\frac{16}{5}$

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．