Question

13．如图，直线l与⊙相切于点D，过圆心O作EF∥l交⊙O于E、F两点，点A是⊙O上一点，连接AE，AF，并分别延长交直线于B、C两点；若⊙的半径R=5，BD=12，则∠ACB的正切值为$\frac{7}{5}$．

Answer 1

分析 连接OD，作EH⊥BC，如图，先利用圆周角定理得到∠A=90°，再利用等角的余角相等得到∠BEH=∠C，接着根据切线的性质得到OD⊥BC，易得四边形EHOD为正方形，则EH=OD=OE=HD=5，所以BH=7，然后根据正切的定义得到tan∠BEH=$\frac{7}{5}$，从而得到tan∠ACB的值．

解答 解：连接OD，作EH⊥BC，如图，
∵EF为直径，
∴∠A=90°，
∵∠B+∠C=90°，∠B+∠BEH=90°，
∴∠BEH=∠C，
∵直线l与⊙相切于点D，
∴OD⊥BC，
而EH⊥BC，EF∥BC，
∴四边形EHOD为正方形，
∴EH=OD=OE=HD=5，
∴BH=BD-HD=7，
在Rt△BEH中，tan∠BEH=$\frac{BH}{EH}$=$\frac{7}{5}$，
∴tan∠ACB=$\frac{7}{5}$．
故答案为$\frac{7}{5}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了正切的定义．