Question

4．已知，如图Rt△ABC内接于⊙O，AB为直径，CF⊥AB，tan∠ABC=$\frac{3}{4}$，CF=8，D是$\widehat{BC}$的中点，BC与AD的交点为Q，则$\frac{AQ}{DQ}$等于（　　）

• A． 2.8
• B． 3
• C． 3.5
• D． 4

Answer 1

分析 连接OD，根据垂径定理得到OD⊥BC．BE=CE，由圆周角定理得到∠CAD=∠DAB，根据三角函数的定义由tan∠ABC=$\frac{3}{4}$，CF=8，求得BF=$\frac{32}{3}$，BC=$\sqrt{C{F}^{2}+B{F}^{2}}$=$\frac{40}{3}$，AC=10AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\frac{50}{3}$，OD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{25}{3}$，根据三角形的中位线定理得到OE=$\frac{1}{2}$AC=5然后根据△AQC∽△DQE，即可得到结论．

解答 解：连接OD交BC于E，
∵D是$\widehat{BC}$的中点，
∴OD⊥BC．BE=CE，∠CAD=∠DAB，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∵CF⊥AB，
∴∠CFB=90°，
∵tan∠ABC=$\frac{3}{4}$，CF=8，
∴BF=$\frac{32}{3}$，
∴BC=$\sqrt{C{F}^{2}+B{F}^{2}}$=$\frac{40}{3}$，
∴AC=10，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\frac{50}{3}$，
∴OD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{25}{3}$，
∵AO=BO，
∴OE=$\frac{1}{2}$AC=5，
∴DE=OD-OE=$\frac{10}{3}$
∵∠ACB=∠DEQ，∠AQC=∠DQE，
∴△AQC∽△DQE，
∴$\frac{AQ}{DQ}=\frac{AC}{DE}$=$\frac{10}{\frac{10}{3}}$=3．
故选B．

点评 本题主要考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、圆周角定理、解直角三角形，垂径定理，连接OD构造相似三角形是解题的关键．