Question

6．如图①，在凸四边形ABCD中，E，F，G，H分别在AD，AB，BC，CD上，且EF∥HG∥BD，EH∥FG∥AC，若四边形EFGH是菱形，则称菱形EFGH是凸四边形ABCD的内接菱形．
（1）如图②，在凸四边形ABCD中，若AC=BD，请画出四边形ABCD的内接菱形，简要说明作图依据；
（2）如图③，四边形IJKL是凸四边形ABCD的内接菱形，BD=a，AC=ka．
①填空：$\frac{IJ}{BD}+\frac{JK}{AC}$=1，$\frac{IJ}{BD}$=$\frac{k}{1+k}$（用含k的代数式表示）；
②若BD=5，且四边形ABCD的面积是四边形IJKL面积的3倍，求出AC的值．

Answer 1

分析 （1）如图②所示，取AB、BC、CD、DA的中点E、F、G、H连接EF、FG、GH、HE，四边形EFGH是菱形，根据三角形中位线定理即可证明．
（2）①由IJ∥BD，JK∥AC，得$\frac{IJ}{BD}$=$\frac{AJ}{AB}$，$\frac{JK}{AC}$=$\frac{JB}{AB}$，所以$\frac{IJ}{BD}$+$\frac{jk}{AC}$=$\frac{AJ}{AB}$+$\frac{JB}{AB}$=$\frac{AJ+JB}{AB}$=$\frac{AB}{AB}$=1．又IJ=JK，AC=k•BD，所以$\frac{JI}{BD}$+$\frac{JK}{k•BD}$=1，由此即可求出$\frac{IJ}{BD}$的值．
②由$\frac{IJ}{BD}$+$\frac{JK}{AC}$=1，推出$\frac{JK}{AC}$=$\frac{1}{1+k}$，可得S_△AIJ=（$\frac{k}{1+k}$）²•S△ABD，S_△CKL=（$\frac{k}{1+k}$）²•S_△BDC，S_△DIL=（$\frac{1}{1+k}$）²•S_△ADC，S_△BJK=（$\frac{1}{1+k}$）²•S_△ABC，根据四边形ABCD的面积是四边形IJKL面积的3倍，列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）如图②所示，取AB、BC、CD、DA的中点E、F、G、H连接EF、FG、GH、HE，四边形EFGH是菱形．

理由：∵AC=BD，AE=EB，AH=HD，CF=FB，CG=DG，
∴EH=GF=$\frac{1}{2}$BD，同理可得HG=EF=$\frac{1}{2}$AC，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形．

（2）①如图③中，

∵IJ∥BD，JK∥AC，
∴$\frac{IJ}{BD}$=$\frac{AJ}{AB}$，$\frac{JK}{AC}$=$\frac{JB}{AB}$，
∴$\frac{IJ}{BD}$+$\frac{jk}{AC}$=$\frac{AJ}{AB}$+$\frac{JB}{AB}$=$\frac{AJ+JB}{AB}$=$\frac{AB}{AB}$=1．
∵IJ=JK，AC=k•BD
∴$\frac{JI}{BD}$+$\frac{JK}{k•BD}$=1，
∴$\frac{k•IJ+JK}{k•BD}$=1，
∴$\frac{IJ}{BD}$=$\frac{k}{1+k}$，
故答案为1.$\frac{k}{1+k}$．

②∵$\frac{IJ}{BD}$+$\frac{JK}{AC}$=1，
∴$\frac{k•IJ}{k•BD}$+$\frac{JK}{AC}$=1，
∴$\frac{JK}{AC}$=$\frac{1}{1+k}$，
∵$\frac{JK}{BD}$=$\frac{KL}{BD}$=$\frac{k}{1+k}$，
∴S_△AIJ=（$\frac{k}{1+k}$）²•S△ABD，S_△CKL=（$\frac{k}{1+k}$）²•S_△BDC，S_△DIL=（$\frac{1}{1+k}$）²•S_△ADC，S_△BJK=（$\frac{1}{1+k}$）²•S_△ABC，
∵四边形ABCD的面积是四边形IJKL面积的3倍，
∴S_{四边形ABCD}=3[S_{四边形ABCD}-（$\frac{k}{1+k}$）²•S_{四边形ABCD}-（$\frac{1}{1+k}$）²•S_{四边形ABCD}]，
整理得k²-4k+1=0，
解得k=2+$\sqrt{3}$或2-$\sqrt{3}$，
∴AC=k•BD=10+5$\sqrt{3}$后10-5$\sqrt{3}$．

点评 本题考查四边形综合题、三角形中位线定理、平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用比例的性质解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为方程解决，属于中考压轴题．