Question

【题目】如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数y=x+1的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD．

（1）求边AB的长；

（2）求点C，D的坐标；

（3）在x轴上是否存在点M，使△MDB的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）C（﹣1，3），D（﹣3，2）；（3）M（﹣1，0）．

【解析】

试题分析：（1）在直角三角形AOB中，由OA与OB的长，利用勾股定理求出AB的长即可；

（2）过C作y轴垂线，过D作x轴垂线，分别交于点E，F，可得三角形CBE与三角形ADF与三角形AOB全等，利用全等三角形对应边相等，确定出C与D坐标即可；

（3）作出B关于x轴的对称点B′，连接B′D，与x轴交于点M，连接BD，BM，此时△MDB周长最小，求出此时M的坐标即可．

解：（1）对于直线y=x+1，令x=0，得到y=1；令y=0，得到x=﹣2，

∴A（﹣2，0），B（0，1），

在Rt△AOB中，OA=2，OB=1，

根据勾股定理得：AB==；

（2）作CE⊥y轴，DF⊥x轴，可得∠CEB=∠AFD=∠AOB=90°，

∵正方形ABCD，

∴BC=AB=AD，∠DAB=∠ABC=90°，

∴∠DAF+∠BAO=90°，∠ABO+∠CBE=90°，

∵∠DAF+∠ADF=90°，∠BAO+∠ABO=90°，

∴∠BAO=∠ADF=∠CBE，

∴△BCE≌△DAF≌ABO，

∴BE=DF=OA=2，CE=AF=OB=1，

∴OE=OB+BE=2+1=3，OF=OA+AF=2+1=3，

∴C（﹣1，3），D（﹣3，2）；

（3）找出B关于x轴的对称点B′，连接B′D，与x轴交于点M，此时△BMD周长最小，

∵B（0，1），

∴B′（0，﹣1），

设直线B′D的解析式为y=kx+b，

把B′与D坐标代入得：，

解得：，即直线B′D的解析式为y=﹣x﹣1，

令y=0，得到x=﹣1，即M（﹣1，0）．