Question

【题目】如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME=1，AM=2，AE=．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】

（1）根据已知，由勾股定理逆定理可知，△AEM是直角三角形，从而平行的性质得到AB⊥BC，因此得出结论．

（2）连接ON，求出ON和即可求出的长．

（1）证明：∵ME=1，AM=2，AE=，

∴．

∴△AEM是直角三角形，且∠AEM=90°．

∵MN∥BC，

∴∠ABC=∠AEM=90°．

又∵AB是⊙O的直径，

∴BC是⊙O的切线．

（2）如图，连接ON，

∵∠AEM=90°，

∴AE⊥MN．

∴EN=ME=1．

设⊙O的半径为x，则ON= x，OE=，

在Rt△OEN中，根据勾股定理，得：，

解得：．

∴．

∴．

∴．