【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以AC为一边向外作等边三角形ACD,点E为AB的中点,连结DE.
(1)证明DE∥CB;
(2)探索AC与AB满足怎样的数量关系时,四边形DCBE是平行四边形.
【答案】(1)首先连接CE,根据直角三角形的性质可得CE=AB=AE,再根据等边三角形的性质可得AD=CD,然后证明△ADE≌△CDE,进而得到∠ADE=∠CDE=30°,再有∠DCB=150°可证明DE∥CB。
(2)当或AB=2AC时,四边形DCBE是平行四边形。
【解析】分析:(1)首先连接CE,根据直角三角形的性质可得CE=AB=AE,再根据等边三角形的性质可得AD=CD,然后证明△ADE≌△CDE,进而得到∠ADE=∠CDE=30°,再有∠DCB=150°可证明DE∥CB。
(2)当或AB=2AC时,四边形DCBE是平行四边形。若四边形DCBE是平行四边形,则DC∥BE,∠DCB+∠B=180°进而得到∠B=30°,再根据三角函数可推出或AB=2AC。
解:(1)证明:连结CE,
∵点E为Rt△ACB的斜边AB的中点,
∴CE=AB=AE。
∵△ACD是等边三角形,∴AD=CD。
在△ADE与△CDE中,,
∴△ADE≌△CDE(SSS)。∴∠ADE=∠CDE=30°。
∵∠DCB=150°,∴∠EDC+∠DCB=180°。
∴DE∥CB。
(2)∵∠DCB=150°,若四边形DCBE是平行四边形,则DC∥BE,∠DCB+∠B=180°。
∴∠B=30°.
在Rt△ACB中,sinB=,即sin30°=,∴或AB=2AC。
∴当或AB=2AC时,四边形DCBE是平行四边形。
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【题目】如图,已知函数(x>0)的图象经过点A,B,点A的坐标为(1,2).过点A作AC∥y轴,AC=1(点C位于点A的下方),过点C作CD∥x轴,与函数的图象交于点D,过点B作BE⊥CD,垂足E在线段CD上,连接OC,OD.
(1)求△OCD的面积;
(2)当BE=AC时,求CE的长.
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【题目】如图,一架长2.5m的梯子AB斜靠在墙AC上,∠C=90°,此时,梯子的底端B离墙底C的距离BC为0.7m.
(1)求此时梯子的顶端A距地面的高度AC;
(2)如果梯子的顶端A下滑了0.9m,那么梯子的顶端B在水平方向上向右滑动了多远?
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【题目】定义:把一个半圆与抛物线的一部分组成的封闭图形称为“蛋圆”.
如图,抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于点A,B,与y轴交于点D,以AB为直径,在x轴上方作半圆交y轴于点C,半圆的圆心记为M,此时这个半圆与这条抛物线x轴下方部分组成的图形就称为“蛋圆”.
(1)直接写出点A,B,C的坐标及“蛋圆”弦CD的长;
A , B , C , CD=;
(2)如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点,那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.
①求经过点C的“蛋圆”切线的解析式;
②求经过点D的“蛋圆”切线的解析式;
(3)由(2)求得过点D的“蛋圆”切线与x轴交点记为E,点F是“蛋圆”上一动点,试问是否存在S△CDE=S△CDF , 若存在请求出点F的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)点P是“蛋圆”外一点,且满足∠BPC=60°,当BP最大时,请直接写出点P的坐标.
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【题目】阅读下面一段:
计算
观察发现,上式从第二项起,每项都是它前面一项的倍,如果将上式各项都乘以,所得新算式中除个别项外,其余与原式中的项相同,于是两式相减将使差易于计算.
解:设,①
则,②
②-①得,则.
上面计算用的方法称为“错位相减法”,如果一列数,从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中是都等于),那么这列数的求和问题,均可用上述“错位相减”法来解决.
下面请你观察算式是否具备上述规律?若是,请你尝试用“错位相减”法计算上式的结果.
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【题目】如图,在ABCD中,E是AD上一点,延长CE到点F,使∠FBC=∠DCE.
(1)求证:∠D=∠F;
(2)用直尺和圆规在AD上作出一点P,使△BPC∽△CDP(保留作图的痕迹,不写作法).
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【题目】图中是抛物线拱桥,P处有一照明灯,水面OA宽4m,从O、A两处观测P处,仰角分别为α、β,且tanα= ,tan ,以O为原点,OA所在直线为x轴建立直角坐标系.
(1)求点P的坐标;
(2)水面上升1m,水面宽多少( 取1.41,结果精确到0.1m)?
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【题目】某体育老师对自己任教的55名男生进行一百米摸底测试,若规定男生成绩为16秒合格,下表是随机抽取的10名男生分A、B两组测试的成绩与合格标准的差值(比合格标准多的秒数为正,少的秒数为负).
A 组 | ﹣1.5 | +1.5 | ﹣1 | ﹣2 | ﹣2 |
B组 | +1 | +3 | ﹣3 | +2 | ﹣3 |
(1)请你估算从55名男生中合格的人数大约是多少?
(2)通过相关的计算,说明哪个组的成绩比较均匀;
(3)至少举出三条理由说明A组成绩好于B组成绩,或找出一条理由来说明B组好于A组.
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