Question

19．阅读材料：为解方程（x²-1）²-5（x²-1）+4=0，我们可以将x²-1看作一个整体，然后设x²-1=y，那么原方程可化为y²-5y+4=0①，解得y₁=1，y₂=4．当y=1时，x²-1=1，∴x=±$\sqrt{2}$；当y=4时，x²-1=4，∴x²=5，∴x=±$\sqrt{5}$，故原方程的解为x₁=$\sqrt{2}$，x₂=-$\sqrt{2}$，x₃=$\sqrt{5}$，x₄=-$\sqrt{5}$．
解答问题：
（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；
（2）请利用以上知识解决：若（m²+n²-2）（m²+n²）=8，求m²+n²的值．

Answer 1

分析 （1）根据题目的变形可以看出运用了换元法和整体思想在解答这道题，故得出结论为换元法．
（2）先设m²+n²=y，原方程可以变为：（y-2）y=8，再解一道关于y的方程求出y的值，即m²+n²的值．

解答 解：（1）∵将x²-1看作一个整体，然后设x²-1=y，实际上是将x²-1转化为了y，
∴这一步是运用了数学里的转化思想，这种方法交换元法．
故答案为：换元．

（2）设m²+n²=y，则原方程变形为：（y-2）y=8，
整理，得（y-4）（y+2）=0，
解得y=4或y=-2（舍去），
即m²+n²=4．

点评 本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．