Question

8．如图1，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，3），C（4，0），且满足（a+b）²+|a-b+6|=0，线段AB交y轴于F点．
（1）求点A、B的坐标；
（2）点D为y轴正半轴上一点，若ED∥AB，且AM，DM分别平分∠CAB，∠ODE，如图 2，求∠AMD的度数；
（3）如图 3，（也可以利用图 1）①求点F的坐标；②坐标轴上是否存在点P，使得△ABP和△ABC的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据非负数的性质可求出a和b，即可得到点A和B的坐标；
（2）由平行线的性质结合角平分线的定义可得则∠NDM-∠OAN=45°，再利用∠OAN=90°-∠ANO=90°-∠DNM，得到∠NDM-（90°-∠DNM）=45°，所以∠NDM+∠DNM=135°，然后根据三角形内角和定理得180°-∠NMD=135°，可求得∠NMD=45°；
（3）①连结OB，如图3，设F（0，t），根据S_△AOF+S_△BOF=S_△AOB，得到关于t的方程，可求得t的值，则可求得点F的坐标；②先计算△ABC的面积，再分点P在y轴上和在x轴上讨论．当P点在y轴上时，设P（0，y），利用S_△ABP=S_△APF+S_△BPF，可解得y的值，可求得P点坐标；当P点在x轴上时，设P（x，0），根据三角形面积公式得，同理可得到关于x的方程，可求得x的值，可求得P点坐标．

解答 解：
（1）∵（a+b）²+|a-b+6|=0，
∴a+b=0，a-b+6=0，
∴a=-3，b=3，
∴A（-3，0），B（3，3）；
（2）如图2，

∵AB∥DE，
∴∠ODE+∠DFB=180°，
而∠DFB=∠AFO=90°-∠FAO，
∴∠ODE+90°-∠FAO=180°，
∵AM，DM分别平分∠CAB，∠ODE，
∴∠OAN=$\frac{1}{2}$∠FAO，∠NDM=$\frac{1}{2}$∠ODE，
∴∠NDM-∠OAN=45°，
而∠OAN=90°-∠ANO=90°-∠DNM，
∴∠NDM-（90°-∠DNM）=45°，
∴∠NDM+∠DNM=135°，
∴180°-∠NMD=135°，
∴∠NMD=45°，
即∠AMD=45°；
（3）①连结OB，如图3，

设F（0，t），
∵S_△AOF+S_△BOF=S_△AOB，
∴$\frac{1}{2}$•3•t+$\frac{1}{2}$•t•3=$\frac{1}{2}$×3×3，解得t=$\frac{3}{2}$，
∴F点坐标为（0，$\frac{3}{2}$）；
②存在．
△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×7×3=$\frac{21}{2}$，
当P点在y轴上时，设P（0，y），
∵S_△ABP=S_△APF+S_△BPF，
∴$\frac{1}{2}$•|y-$\frac{3}{2}$|•3+$\frac{1}{2}$•|y-$\frac{3}{2}$|•3=$\frac{21}{2}$，解得y=5或y=-2，
∴此时P点坐标为（0，5）或（0，-2）；
当P点在x轴上时，设P（x，0），
则$\frac{1}{2}$•|x+3|•3=$\frac{21}{2}$，解得x=-10或x=4，
∴此时P点坐标为（-10，0），
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（0，5）或（0，-2）或（-10，0）．

点评 本题为三角形的综合应用，涉及非负数的性质、角平分线的定义、平行线的性质、三角形内角和定理、三角形的面积、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意非负数的性质的运用，在（2）利用三角形内角和及角平分线的性质等得到∠NDM+∠DNM=135°是解题的关键，在（3）中由三角形的面积得到关于点的坐标的方程是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．