【题目】如图,在直角坐标系中,,,是线段上靠近点的三等分点.
(1)求点的坐标;
(2)若点是轴上的一动点,连接、,当的值最小时,求出的坐标及的最小值;
(3)如图2,过点作,交于点,再将绕点作顺时针方向旋转,旋转角度为,记旋转中的三角形为,在旋转过程中,直线与直线的交点为,直线与直线交于点,当为等腰三角形时,请直接写出的值.
【答案】(1);(2)最小值,M;(3)、、、
【解析】
(1)过点作轴于点,证得,然后由相似三角形的性质求得,从而求得GB,HG的长度,使问题得解;
(2)作点关于轴的对称点,连接交轴于点,此时的值最小即的长度,根据勾股定理求长度,然后利用待定系数法求直线的函数解析式,从而求与y轴交点坐标,使问题得解;
(3)依据△OST为等腰三角形,分4种情况画出图形,即可得到旋转角的度数.
解:(1)如图,过点作轴于点.
因为轴
∴HG∥OA
∴,
又∵是线段上靠近点的三等分点
∴,
∵,,
∴,
∴
∴
(2)如图,作点关于轴的对称点,连接交轴于点.
则为,
此时
∴的最小值为;
设直线:,把,B(3,0)代入得:
,解得:
∴直线为
当时,
∴为
(3)如图,当OT=OS时,α=75°-30°=45°;
如图,当OT=TS时,α=90°;
如图,当OT=OS时,α=90°+60°-15°=135°;
如图,当ST=OS时,α=180°;
综上所述,α的值为45°,90°,135°,180°.
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【题目】如图,已知OP平分∠AOB,∠AOB=60°,CP=2,CP∥OA,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E.如果点M是OP的中点,则DM的长是( )
A. 2 B. C. D. 2
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【题目】如图,在等边△ABC中,M是边BC延长线上一点,连接AM交△ABC的外接圆于点D,延长BD至N,使得BN=AM,连接CN、MN,
(1)求证:△CMN是等边三角形;
(2)判断CN与⊙O的位置关系,并说明理由;
(3)若AD:AB=3:4,BN=4,求等边△ABC的边长.
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【题目】某市教育行政部门为了了解初一学生每学期参加综合实践活动的情况,随机抽样调查了某校初一学生一个学期参加综合实践活动的天数,并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图,请你根据图中提供的信息,回答下列问题:
(1)扇形统计图中a的值为_____,“活动时间为4天”的扇形所对圆心角的度数为_____°,该校初一学生的总人数为______;
(2)补全频数分布直方图;
(3)如果该市共有初一学生6000人,请你估计“活动时间不少于4天”的大约有多少人?
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【题目】如图,AB、CD交于点O,OE⊥AB,且OC平分∠AOE.
(1)如图1,求∠BOD的度数;
(2)如图2,过O点作射线OF,且∠DOF=4∠AOF,求∠FOC的度数.
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【题目】(本题6分)甲、乙两人进行摸牌游戏.现有三张形状大小完全相同的牌,正面分别标有数字2,3,5.将三张牌背面朝上,洗匀后放在桌子上.
(1)甲从中随机抽取一张牌,记录数字后放回洗匀,乙再随机抽取一张.请用列表法或画树状图的方法,求两人抽取相同数字的概率;
(2)若两人抽取的数字和为2的倍数,则甲获胜;若抽取的数字和为5的倍数,则乙获胜.这个游戏公平吗?请用概率的知识加以解释.
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【题目】(本题8分)如图某幢大楼顶部有广告牌CD.张老师目高MA为1.60米,他站立在离大楼45米的A处测得大楼顶端点D的仰角为30°;接着他向大楼前进14米、站在点B处,测得广告牌顶端点C的仰角为45°.(取 ,计算结果保留一位小数)
(1)求这幢大楼的高DH;
(2)求这块广告牌CD的高度.
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【题目】如图,正方形ABCD的边长为a, P为正方形边上一动点,运动路线是A-D-C-B-A,设P点经 过的路程为x,以点A,P,D为顶点的三角形的面积是y,图象反映了y与x的关系,当时,x=_____.
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