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【题目】如图,在直角坐标系中,是线段上靠近点的三等分点.

1)求点的坐标;

2)若点轴上的一动点,连接,当的值最小时,求出的坐标及的最小值;

3)如图2,过点,交于点,再将绕点作顺时针方向旋转,旋转角度为,记旋转中的三角形为,在旋转过程中,直线与直线的交点为,直线与直线交于点,当为等腰三角形时,请直接写出的值.

【答案】1;(2)最小值M;(3

【解析】

1)过点轴于点,证得,然后由相似三角形的性质求得,从而求得GBHG的长度,使问题得解;

2)作点关于轴的对称点,连接轴于点,此时的值最小即的长度,根据勾股定理求长度,然后利用待定系数法求直线的函数解析式,从而求与y轴交点坐标,使问题得解;

3)依据△OST为等腰三角形,分4种情况画出图形,即可得到旋转角的度数.

解:(1)如图,过点轴于点

因为

∴HG∥OA

又∵是线段上靠近点的三等分点

2)如图,作点关于轴的对称点,连接轴于点

此时

的最小值为

设直线,把B30)代入得:

,解得:

∴直线

时,

3)如图,当OT=OS时,α=75°-30°=45°


如图,当OT=TS时,α=90°


如图,当OT=OS时,α=90°+60°-15°=135°

如图,当ST=OS时,α=180°

综上所述,α的值为45°90°135°180°

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