Question

9．如图，已知P（a，b）在反比例函数y=$\frac{2}{x}$的图象上，直线y=kx+1-k与坐标轴交于A、B两点，∠ABO=45°，过点P分别作两坐标轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N．
（1）求k的值．
（2）当a=1.5时，求cos∠EOF．
（3）当1＜a＜2时，AE，EF，BF能否作为同一个三角形的三边长，如果能，由AE，EF，BF构成的三角形的外接圆的面积记为S₁，S_△OEF记为S₂，S=S₁+S₂，求S的最小值；如果不能，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据直线的解析式求得A、B的坐标，进而根据等腰直角三角形的性质得出1-k=$\frac{k-1}{k}$，即可求得k的值；
（2）根据已知求得E的纵坐标和F的横坐标，代入（1）求得直线解析式，求得E、F的坐标，根据勾股定理求得OE、OF、EF，设OG=x，则FG=$\frac{\sqrt{10}}{2}$-x，根据勾股定理求得OG的长，解直角三角形即可求得cos∠EOF．
（3）先根据E、F的坐标表示出相应的线段，根据勾股定理求出线段AE、EF、BF组成的三角形为直角三角形，且EF为斜边，则可以表示此三角形的外接圆的面积S₁，再由梯形的面积公式和三角形的面积公式就可以表示出S₂，就可以表示出S的解析式，再根据求得的函数S的性质就可以求出最值．

解答 解：（1）∵直线y=kx+1-k与坐标轴交于A、B两点，
∴A（0，1-k），B（$\frac{k-1}{k}$，0），
∵∠ABO=45°，
∴OA=OB，
∴1-k=$\frac{k-1}{k}$，解得k=±1，
由图象可知，k=1不合题意，
∴k=-1．
（2）作EG⊥OF于G，
由k=-1，则直线y=-x+2，
∵P（a，b）在反比例函数y=$\frac{2}{x}$的图象上，a=1.5，
∴b=$\frac{2}{1.5}$=$\frac{4}{3}$，
∴PM=$\frac{4}{3}$，
∴E点的纵坐标为$\frac{4}{3}$，
代入y=-x+2得，$\frac{4}{3}$=-x+2，解得x=$\frac{2}{3}$，
∴E（$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$），
∴OE=$\sqrt{（\frac{2}{3}）^{2}+（\frac{4}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
把x=1.5代入y=-x+2得，y=-1.5+2=0.5，
∴F（1.5，0.5），
∴OF=$\sqrt{O{M}^{2}+F{M}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴EF=$\sqrt{（\frac{3}{2}-\frac{2}{3}）^{2}+（\frac{1}{2}-\frac{4}{3}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{6}$，
设OG=x，则FG=$\frac{\sqrt{10}}{2}$-x，
根据勾股定理得：OE²-OG²=EF²-GF²，
即（$\frac{2\sqrt{5}}{3}$）²-x²=（$\frac{5\sqrt{2}}{6}$）²-（$\frac{\sqrt{10}}{2}$-x）²，
解得x=$\frac{\sqrt{10}}{3}$，
∴OG=$\frac{\sqrt{10}}{3}$，
∴cos∠EOF=$\frac{OG}{OE}$=$\frac{\frac{\sqrt{10}}{3}}{\frac{2\sqrt{5}}{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（3）∵四边形OMPN是矩形，∠OAF=∠EBO=45°，
∴△ANE、△BMF、△PEF为等腰直角三角形．
∵F点的横坐标为a，F（a，2-a），
∴BM=FM=2-a，
∴BF²=2（2-a）²=2a²-8a+8．
∵E的纵坐标为b，E（2-b，b）
∴AN=EN=2-b，
∴AE²=2（2-b）²=2b²-8b+8．
∴PF=PE=a+b-2，
∴EF²=2（a+b-2）²=2a²+4ab+2b²-8a-8b+8．
∵ab=2，
∴EF²=2a²+2b²-8a-8b+16
∴EF²=AE²+BF²．
∴线段AE、EF、BF组成的三角形为直角三角形，且EF为斜边，则此三角形的外接圆的面积为
S₁=$\frac{π}{4}$EF²=$\frac{π}{4}$•2（a+b-2）²=$\frac{π}{2}$（a+b-2）²．
∵S_梯形OMPE=$\frac{1}{2}$（PE+OM）•PM，S_△PEF=$\frac{1}{2}$PF•PE，S_△OMF=$\frac{1}{2}$OM•FM，
∴S₂=S_梯形OMPE-S_△PEF-S_△OMF
=$\frac{1}{2}$（PE+OM）•PM-$\frac{1}{2}$PF•PE-$\frac{1}{2}$OM•FM
=$\frac{1}{2}$[PE（PM-PF）+OM（PM-FM）]
=$\frac{1}{2}$（PF•FM+OM•PF）
=$\frac{1}{2}$PF（FM+OM）
=$\frac{1}{2}$（a+b-2）（2-a+a）
=a+b-2．
∴S=S₁+S₂=$\frac{π}{2}$（a+b-2）²+a+b-2．
设m=a+b-2，则S=S₁+S₂=$\frac{π}{2}$m²+m=$\frac{π}{2}$（m+$\frac{1}{π}$）²-$\frac{1}{2π}$，
∵面积不可能为负数，
∴当m＞-$\frac{1}{π}$时，S随m的增大而增大．
当m最小时，S最小．
∵m=a+b-2=a+$\frac{2}{a}$-2=（$\sqrt{a}$-$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{a}}$）²+2$\sqrt{2}$-2，
∴当$\sqrt{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{a}}$，即a=b=$\sqrt{2}$时，m最小，最小值为2$\sqrt{2}$-2
∴S的最小值=$\frac{π}{2}$（2$\sqrt{2}$-2）²+2$\sqrt{2}$-2=2（3-2$\sqrt{2}$）π+2$\sqrt{2}$-2．

点评 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理及勾股定理的逆定理的运用，梯形的面积公式的运用，圆的面积公式的运用，三角形的面积公式的运用二次函数的顶点式的运用，在解答时运用二次函数的顶点式求最值是关键和难点．