Question

假设a，b，c，d是使方程组

ax+by=m cx+dy=n

对所有整数m，n都有整数解的整数．则ad-bc=

 

．

Answer 1

考点：整数问题的综合运用

专题：

分析：设ad-bc=t（t是整数），当m=0，n=1时，x₁=-

b

t

，y₁=

a

t

；当m=1，n=0时，x₂=

d

t

，y₂=-

c

t

．从而有a=ty₁，b=-tx₁，c=-ty₂，d=tx₂．由于对任意整数m、n，整数a、b、c、d都能保证x、y皆为整数，因此x₁、y₁、x₂、y₂为整数．由ad-bc=t可得

1

t

也是整数，从而可求出整数t的值．

解答：解：解方程组

ax+by=m cx+dy=n

得

x= md-nb ad-bc y= an-cm ad-bc

，
设ad-bc=t（t是整数），
则有x=

md-nb

t

=

d

t

•m-

b

t

•n，y=

an-cm

t

=

a

t

•n-

c

t

•m．
∴当m=0，n=1时，x₁=-

b

t

，y₁=

a

t

；
当m=1，n=0时，x₂=

d

t

，y₂=-

c

t

．
则有a=ty₁，b=-tx₁，c=-ty₂，d=tx₂．
∵对任意整数m、n，整数a、b、c、d都能保证x、y皆为整数，
∴x₁、y₁、x₂、y₂为整数．
由ad-bc=t可得：ty₁•tx₂-（-tx₁）•（-ty₂）=t，
∴t²•y₁x₂-t²•x₁y₂=t，
∴y₁x₂-x₁y₂=

1

t

，
∵x₁、y₁、x₂、y₂皆为整数，
∴

1

t

亦为整数，
∴t=1或-1．
故答案为：1或-1．

点评：本题主要考查了整数问题的综合应用，将具有一般性质的问题特殊化处理是解决本题的关键．