Question

设n是一个正整数，且

n

270

=0.1a48a48a48…，那么n=

 

．

Answer 1

考点：整数问题的综合运用

专题：

分析：设x=0．a48a48a48…，等式两边同乘以1000，就得到关于x的一元一次方程，求出x，从而将循环小数化为分数，进而得到n=27+27x，化简后可得n=29+2a+

26(a-1)

37

，由n、a是整数可得

26(a-1)

37

也是整数，由26与37互质可得a-1是37的倍数，由0≤a≤9可得a=1，就可得到n的值．

解答：解：设x=0．a48a48a48…，
则1000x=100a+48+0．a48a48a48…=100a+48+x，
解得：x=

100a+48

999

，
∴

n

270

=0.1a48a48a48…=0.1+0.0a48a48a48…，
∴n=27+27x=27+27×

100a+48

999

=27+

100a+48

37

=27+

74a+74+26a-26

37

=27+2a+2+

26(a-1)

37

=29+2a+

26(a-1)

37

∵n是一个正整数，a是非负整数，
∴

26(a-1)

37

是整数．
∵26与37互质，
∴a-1是37的倍数，
∵0≤a≤9，
∴a-1=0即a=1，
∴n=29+2+0=31．

点评：本题主要考查了整数问题的综合应用、两数互质、约数与倍数等知识，而将循环小数化为分数是解决本题的关键．