Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A（3，4），C在x轴的负半轴，抛物线y=﹣ （x﹣2）2+k过点A．

（1）求k的值；
（2）若把抛物线y=﹣ （x﹣2）2+k沿x轴向左平移m个单位长度，使得平移后的抛物线经过菱形OABC的顶点C．试判断点B是否落在平移后的抛物线上，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ 经过点A（3，4），

∴ ，

解得：

（2）解：如图所示，

设AB与y轴交于点D，则AD⊥y轴，AD=3，OD=4， ．

∵四边形OABC是菱形，

∴OA=AB=OC=5，BD=AB﹣AD=2，

∴B（﹣2，4）．

令y=0，得 ，

解得：x1=0，x2=4，

∴抛物线 与x轴交点为O（0，0）和E（4，0），OE=4，

当m=OC=5时，平移后的抛物线为 ，

令x=﹣2得， ，

∴点B在平移后的抛物线 上；

当m=CE=9时，平移后的抛物线为 ，

令x=﹣2得， ，

∴点B不在平移后的抛物线 上．

综上，当m=5时，点B在平移后的抛物线上；当m=9时，点B不在平移后的抛物线上

【解析】（1）将点A的坐标代入二次函数解析式中，可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论；（2）设AB与y轴交于点D，结合勾股定理以及菱形的性质找出点B、C的坐标，根据二次函数的解析式求出该抛物线与x轴的交点坐标，再根据平移的性质找出平移后过C点的二次函数的解析式，代入B点的坐标来验证其是否在平移后的函数图象上即可得出结论..
【考点精析】利用二次函数图象的平移和菱形的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知平移步骤：（1）配方 y=a(x-h)2+k，确定顶点（h,k）（2）对x轴左加右减；对y轴上加下减；菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半．