Question

15．如图，已知直线y=ax+b与双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）在第一象限内交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，与x轴交于点C（x₀，0）
（1）若A（2，2）、B（4，n）
①求直线和双曲线解析式
②直接写出S_△AOB=3
（2）直接写出x₁、x₂、x₀之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）①根据待定系数法即可解决．②求出直线与坐标轴的交点坐标，由三角形面积公式即可得出结果；
（2）设直线y=ax+b与双曲线y=$\frac{k}{x}$（ak≠0）的两个交点的横坐标为x₁、x₂，直线与  x轴交点的横坐标为x₀，两个解析式组成方程组，即可x₁、x₂、x₀之间的等量关系．

解答 解：（1）①∵直线y=ax+b与双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）在第一象限内交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，A（2，2）、B（4，n），
∴k=2×2=4，
∴双曲线解析式为y=$\frac{4}{x}$，
∴n=$\frac{4}{4}$=1，
∴B（4，1），
把A（2，2）、B（4，1）代入直线y=ax+b得：$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=2}\\{4a+b=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3；
②∵y=-$\frac{1}{2}$x+3，当y=0时，x=6；当x=0时，y=3，
∴C（6，0），
∴OC=6，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$×6×3-$\frac{1}{2}$×3×2-$\frac{1}{2}$×6×1=3；
故答案为：3；
（3）x₁+x₂=x₀．理由如下：
由$\left\{\begin{array}{l}{y=ax+b}\\{y=\frac{k}{x}}\end{array}\right.$消去y得：ax²+bx-k=0，
∵直线y=ax+b与双曲线y=$\frac{k}{x}$（ak≠0）的两个交点的横坐标为x₁、x₂，
∴x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，
直线y=ax+b与x轴的交点为（-$\frac{b}{a}$，0），
∴x₀=-$\frac{b}{a}$，
∴x₁+x₂=x₀．

点评 本题考查反比例函数和一次函数的有关知识，解题的关键是理解方程组解与交点坐标的关系，体现数形结合的思想，属于中考常考题型．