Question

5．已知在Rt△ABC中，AD是斜边上的高，BC=3AC，那么△ABD的面积与△CBA的面积的比是（　　）

• A． 1：3
• B． 3：9
• C． 8：1
• D． 8：9

Answer 1

分析 如图，设AC=x，则BC=3x，先证明△CAD∽△CBA，利用相似比得到CD=$\frac{1}{3}$x，则BD=$\frac{8}{3}$x，然后根据三角形公式计算△ABD的面积与△CBA的面积的比．

解答 解：如图，设AC=x，则BC=3AC=3x，
∵AD为高，
∴∠ADC=90°，
∵∠ACD=∠BCA，
∴△CAD∽△CBA，
∴AC：BC=CD：AC，即x：3x=CD：x，
∴CD=$\frac{1}{3}$x，
∴BD=3x-$\frac{1}{3}$x=$\frac{8}{3}$x，
∴△ABD的面积：△CBA的面积=BD：BC=$\frac{8}{3}$x：3x=8：9．
故选D．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；再运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长．