Question

【题目】已知如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O，DF⊥AB交AC于点G，反比例函数y=（x＞0）经过线段DC的中点E，若BD=4，则AG的长为（ ）

A． B．+2 C．2+1 D．+1

Answer 1

【答案】A

【解析】

试题分析：过E作y轴和x的垂线EM，EN，证明四边形MENO是矩形，设E（b，a），根据反比例函数图象上点的坐标特点可得ab=，进而可计算出CO长，根据三角函数可得∠DCO=30°，再根据菱形的性质可得∠DAB=∠DCB=2∠DCO=60°，∠1=30°，AO=CO=2，然后利用勾股定理计算出DG长，进而可得AG长．

解：过E作y轴和x的垂线EM，EN，

设E（b，a），

∵反比例函数y=（x＞0）经过点E，

∴ab=，

∵四边形ABCD是菱形，

∴BD⊥AC，DO=BD=2，

∵EN⊥x，EM⊥y，

∴四边形MENO是矩形，

∴ME∥x，EN∥y，

∵E为CD的中点，

∴DOCO=4，

∴CO=2，

∴tan∠DCO==，

∴∠DCO=30°，

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠DAB=∠DCB=2∠DCO=60°，∠1=30°，AO=CO=2，

∵DF⊥AB，

∴∠2=30°，

∴DG=AG，

设DG=r，则AG=r，GO=2﹣r，

∵AD=AB，∠DAB=60°，

∴△ABD是等边三角形，

∴∠ADB=60°，

∴∠3=30°，

在Rt△DOG中，DG2=GO2+DO2，

∴r2=（2﹣r）2+22，

解得：r=，

∴AG=，

故选：A．