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【题目】已知矩形ABCD中,AB=3,BC=4,CE平分ACB交AB于点E,M为CE的中点,连结BM,将BCM绕点C顺时针旋转至B′CM′,B′M′交AD于Q,延长CM′交AD于P,若PQ=PM′,则PQ=

【答案】

【解析】

试题分析:首先证明四边形ACM'Q是等腰梯形,设PQ=x,在直角CDP中,根据勾股定理即可得到关于x的方程求得x的值.

解:设PQ=x,

CE平分ACB

∴∠BCE=ACE,且=

AB=3,BC=4,

AC=5

BE=,AE=

CE=

CM=

M是CE的中点,且BCE是直角三角形,

BM=CM=EM

∴∠CBM=BCM=ACE

B'CM'BCM旋转得到,

∴△B'CM'≌△BCM

PQ=P'M

∴∠PM'Q=PQM'=2B'CM'=ACB

四边形ABCD是矩形,

ADBC

∴∠ACB=CAD

∴∠PQM'=CAD

ACB'M'

∴∠PM'Q=ACP

∴∠CAD=ACP

四边形ACM'Q是等腰梯形,

AQ=CM'=

PD=+x,

在直角CDP中,根据勾股定理得:CP2=PD2+CD2

+x)2=(4﹣﹣x)2+9,另t=+x,则t2=(4﹣t)2+9,

t=

+x=

x=

PQ=

故答案是:

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