Question

9．阅读资料：我们把顶点在圆上，并且一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角，如图1∠ABC所示．同学们研究发现：P为圆上任意一点，当弦AC经过圆心O时，且AB切⊙O于点A，此时弦切角∠CAB=∠P（图2）
证明：∵AB切⊙O于点A，∴∠CAB=90°，又∵AC是直径，∴∠P=90°∴∠CAB=∠P

问题拓展：若AC不经过圆心O（如图3），该结论：弦切角∠CAB=∠P还成立吗？请说明理由．
知识运用：如图4，AD是△ABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB、AC分别相交于E、F．求证：EF∥BC．

Answer 1

分析 问题拓展：首先连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD，由圆周角定理可得∠D=∠P，又由AD是直径，AB切圆于点A，易证得∠CAB=∠CAD，继而证得结论；
知识运用：连接DF，AD是△ABC中∠BAC的平分线，⊙O与BC切于点D，可得∠FDC=∠EAD，又由圆周角定理可得∠EAD=∠EFD，继而证得结论．

解答 解：问题拓展：成立．
如图3，连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD，
则∠D=∠P，
∵AD是直径，
∴∠D+∠CAD=90°，
又∵AB切圆于点A，
∴∠CAB+∠CAD=90°，
∴∠CAB=∠CAD，
而∠CAD=∠P，
∴∠CAB=∠P；

知识运用：如图4，连接DF，
∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，
∴∠EAD=∠DAC，
∵⊙O与BC切于点D，
∴∠FDC=∠DAC，
∴∠FDC=∠EAD，
∵在⊙O中∠EAD=∠EFD，
∴∠FDC=∠EFD，
∴EF∥BC．

点评 此题考查了切线的性质、圆周角定理以及平行线的判定．注意准确作出辅助线是解此题的关键．