Question

4．如图，已知二次函数的图象与x轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0），对于下列结论：①2a+b=0；②abc＜0；③a+b+c＞0；④当x＞1时，y随x的增大而减小；其中正确的有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1，根据抛物线对称轴方程得到-$\frac{b}{2a}$=1，则可对①进行判断；由抛物线开口方向得到a＜0，由b=-2a得到b＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得到c＞0，则可对②进行判断；利用x=1时，y＞0可对③进行判断；根据二次函数的性质对④进行判断．

解答 解：∵二次函数的图象与x轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴-$\frac{b}{2a}$=1，即2a+b=0，所以①正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵b=-2a，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以②正确；
∵x=1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，所以③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线开口向下，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，所以④正确．
故选D．

点评 本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．