Question

7．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，点A与点B关于y轴对称．
（1）求一次函数，反比例函数的解析式；
（2）求证：点C为线段AP的中点；
（3）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，说明理由并求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由条件可求得P点坐标，利用待定系数法可求得一次函数和反比例函数的解析式；
（2）由平行线分线段成比例可求得AC=PC，可证得结论；
（3）可先求得C点坐标，过C作CD∥x轴，交PB于点E，交反比例函数图象于点D，可求得此时D点坐标，可证得四边形BCPD为菱形．

解答 解：
（1）∵点A与点B关于y轴对称，
∴AO=BO，
∵A（-4，0），
∴B（4，0），
∵PB⊥x轴于点B，
∴P（4，2），
把P（4，2）代入反比例函数解析式可得m=8，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{8}{x}$，
把A、P两点坐标代入一次函数解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{0=-4k+b}\\{2=4k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{4}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴一次函数解析式为y=$\frac{1}{4}$x+1；

（2）证：∵点A与点B关于y轴对称，
∴OA=OB，
∵PB⊥x轴于点B，
∴∠PBA=∠COA=90°，
∴PB∥CO，
∴$\frac{OA}{OB}$=$\frac{AC}{PC}$=1，即AC=PC，
∴点C为线段AP的中点；

（3）存在点D，使四边形BCPD为菱形．
理由如下：
∵点C为线段AP的中点，
∴BC=$\frac{1}{2}$AP=PC，
∴BC和PC是菱形的两条边，
由y=$\frac{1}{4}$x+1可得C（0，1），
如图，过点C作CD∥x轴，交PB于点E，交反比例函数图象于点D，分别连接PD、BD，

∴D（8，1），且PB⊥CD，
∴PE=BE=1，CE=DE=4，
∴PB与CD互相垂直平分，即四边形BCPD为菱形，
∴存在满足条件的点D，其坐标为（8，1）．

点评 本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线分线段成比例、菱形的判定和性质等知识．在（1）中求得P点坐标是解题的关键，在（2）中注意利用平行线分线段成比例是解题的关键，在（3）中确定出D点的坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．