Question

9．已知抛物线C₁：y=ax²+bx-1经过点（1，-$\frac{1}{2}$）和点（-1，-$\frac{5}{2}$）．
（1）求抛物线C₁的解析式；
（2）将抛物线C₁平移，平移后的抛物线C₂与x轴两交点分别是A、B，与y轴交于点C，且顶点纵坐标是10，那么能否满足△ABC是直角三角形？若能满足，请求出抛物线C₂的解析式；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将（1，-$\frac{1}{2}$）和点（-1，-$\frac{5}{2}$）代入y=ax²+bx-1求出a与b的值．
（2）先将抛物线C₂为y=-$\frac{1}{2}$（x-h）²+k，由题意可知k=10，然后令y=0，求出A、B、C，然后根据勾股定理求出h的值即可．

解答 解：（1）（1，-$\frac{1}{2}$）和点（-1，-$\frac{5}{2}$）代入y=ax²+bx-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}=a+b-1}\\{-\frac{5}{2}=a-b-1}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$
∴抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x²+x-1
（2）抛物线C₁为：y=-$\frac{1}{2}$（x-1）²-$\frac{1}{2}$
设抛物线C₂的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$（x-h）²+k
∵由平移后抛物线的顶点纵坐标是10，
∴k=10，
令y=0代入y=-$\frac{1}{2}$（x-h）²+10，
∴x=h±2$\sqrt{5}$
∴A（h+2$\sqrt{5}$，0），B（h-2$\sqrt{5}$，0）
∴AB=4$\sqrt{5}$
令x=0代入y=-$\frac{1}{2}$（x-h）²+10，
∴y=10-$\frac{1}{2}$h²，
∴C（0，10-$\frac{1}{2}$h²）
∴AC²=（h+2$\sqrt{5}$）²+（-10+$\frac{1}{2}$h²）²
BC²=（h-2$\sqrt{5}$）²+（-10+$\frac{1}{2}$h²）²
当A为直角顶点时，
由勾股定理可知：BC²=AB²+AC²，
∴（h-2$\sqrt{5}$）²+（-10+$\frac{1}{2}$h²）²=80+（h+2$\sqrt{5}$）²+（-10+$\frac{1}{2}$h²）²
∴解得：h=-2$\sqrt{5}$，
当B是直角顶点时，
由勾股定理可知：AC²=AB²+BC²，
∴（h+2$\sqrt{5}$）²+（-10+$\frac{1}{2}$h²）²=80+（h-2$\sqrt{5}$）²+（-10+$\frac{1}{2}$h²）²
∴解得：h=2$\sqrt{5}$
当C是直角顶点时，
由勾股定理可知：AB²=AC²+BC²，
∴80=（h+2$\sqrt{5}$）²+（-10+$\frac{1}{2}$h²）²+（h-2$\sqrt{5}$）²+（-10+$\frac{1}{2}$h²）²
化简为：$\frac{1}{2}$h⁴-18h²+160=0，
∴解得：h²=20或h²=16，
∴h=±2$\sqrt{5}$，h=±4，
综上所述，抛物线C₂的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$（x±2$\sqrt{5}$）²+k或y=-$\frac{1}{2}$（x±4）²+k

点评 本题考查二次函数的综合问题，涉及勾股定理，一元二次方程的解法，待定系数法求解析式，本题综合较高，综合考查学生的灵活运用知识的能力．