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    5．如图，直角坐标系中，O为原点，A（6，0），在等腰三角形ABO中，OB=BA=5，点B在第一象限，C（0，k）为y轴正半轴上一动点，作以∠CBD为顶角的等腰三角形CBD，且∠CBD=∠OBA，连结AD．
    （1）①求点B的坐标；②若BD∥OC，求k的值．
    （2）求证：OC=AD；
    （3）设直线AD与y轴交于点M（0，m），当点C在y轴上运动时，点M的位置是否改变？若改变，求m与k的函数关系式，若不变，求m的值．

    分析 （1）①利用等腰三角形的三线合一得出点B的横坐标为3，再利用勾股定理即可得出点B的纵坐标为4即可；
    ②先判断出△BOC是等腰三角形，即可得出点C在线段OB的垂直平分线上，先确定出直线OB解析式和OB中点坐标，即可得出CD的解析式即可；
    （2）直接判断出△OBC≌△ABD即可得出结论；
    （3）利用定值的差仍然是定值判断出点M的位置不变，再利用∠DAM的正切值是定值，由k=$\frac{25}{8}$时，确定出点D坐标即可得出直线AD解析式，即可．

    解答 解：（1）①如图1，过点B作BE⊥OA于E，
    ∵OB=BA=5，OA=6，
    ∴OE=$\frac{1}{2}$OA=3，
    ∴BE=4，
    ∴B（3，4）；
    ②如图2，∵BD∥OC，
    ∴BD⊥OA，
    ∴∠OBD=$\frac{1}{2}$∠ABO，
    ∵∠CBD=∠OBA，
    ∴∠OBD=$\frac{1}{2}$∠CBD，
    ∴∠OBC=∠OBD，
    ∵BC=BD，
    ∴OB⊥CD，
    ∵BD∥OC，
    ∴∠OBD=∠BOC，
    ∴∠BOC=∠OBC，
    ∴BC=OC，
    ∴CD垂直平分OB，
    ∵B（3，4），
    ∴E（$\frac{3}{2}$，2），
    ∵直线OB的解析式为y=$\frac{4}{3}$x，
    ∴直线CD的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{25}{8}$，
    ∴C（0，$\frac{25}{8}$），
    ∴k=$\frac{25}{8}$．
    （2）如图3，连接AD，
    ∵∠CBD=∠OBA，
    ∴∠OBC=∠ABD，
    在△OBC和△ABD中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=BD}\\{∠OBC=∠ABD}\\{OB=BA}\end{array}\right.$，
    ∴△OBC≌△ABD，
    ∴OC=AD．
    （3）当点C在y轴上运动时，点M的位置是不发生改变．
    理由：如图4，∵△OAB的位置和边是不变的，
    ∴∠BAO和∠BOC的大小不变．
    由（2）△OBC≌△ABD，
    ∴∠BOC=∠BAD，都是定值，
    ∴∠OAM=∠BAO-∠BAD，是定值，
    ∴直线AD是不变的，
    即：当点C在y轴上运动时，点M的位置是不发生改变．
    当k=$\frac{25}{8}$时，BD⊥OA，BD=BC=$\sqrt{9+（4-\frac{25}{8}）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
    ∴点D的纵坐标为：4-$\sqrt{10}$，
    ∴D（3，4-$\sqrt{10}$），
    ∵A（6，0），
    ∴直线AD的解析式为y=$\frac{\sqrt{10}-4}{3}$x+8-2$\sqrt{10}$，
    ∴m=8-2$\sqrt{10}$．

    点评 此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，锐角三角函数，平行线的性质，解本题的关键是判断出OC=AD，是一道中等难度的题目．

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