Question

【题目】如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）

（1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，证明：a2+b2=c2；

（2）用这样的两个三角形可以拼出多种四边形，画出周长最大的四边形；当a=2，b=4时，求这个四边形的周长；

（3）当a=1，b=2时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中（如图（3）），使直角顶点与原点重合，两直角边a，b分别与x轴、y轴重合．

①请在x轴、y轴上找一点C，使△ABC为等腰三角形；（要求：用尺规画出所有符合条件的点，并用C1，C2，…，Cn在图中标出所找的点．只保留作图痕迹，不写作法）

②写出一个满足条件的在x轴上的点的坐标：_____，写出一个满足条件的在y轴上的点坐标：_____．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）画图见解析，周长为；（3）①作图见解析；②（ ，0），（0， ）（答案不唯一）.

【解析】试题分析：（1）由图知，梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，用字母表示出来，化简后，即证明勾股定理；

（2）由a与b的值，利用勾股定理求出c的值，拼图后可知如图1所示时周长最大，求出最大周长即可；

（3）①分别以A、B为圆心，AB长为半径画圆，圆与坐标轴的交点即为满足条件的点，再作线段AB的垂直平分线，垂直平分线与坐标轴的交点也是满足条件的点；

②根据①所作的图形即可得.

试题解析：（1）由图可得， ×（a+b）（a+b）=ab+c2+ab，

∴a2+2ab+b2=2ab+c2，

∴a2+b2=c2；

（2）当a=2，b=4时，可得：c=，

如图1时：四边形的周长为：8+4；

如图2时，四边形的周长为：12；

如图3时，四边形的周长为：4+4；

综上，图1是周长最大的四边形，周长为：8+4；

（3）①如图所示；

②如上图：

一个满足条件的在x轴上的点的坐标：如C3（﹣1，0）；

一个满足条件的在y轴上的点的坐标：如C5（0，2+）．

故答案为：（﹣1，0）；（0，2+）（答案不唯一）.