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【题目】如图,四边形ABCD是正方形,连接AC,将绕点A逆时针旋转α,连接CFOCF的中点,连接OEOD

1)如图1,当时,请直接写出OEOD的关系(不用证明).

2)如图2,当时,(1)中的结论是否成立?请说明理由.

3)当时,若,请直接写出点O经过的路径长.

【答案】1,理由见解析;(2)当时,(1)中的结论成立,理由见解析;(3)点O经过的路径长为

【解析】

1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质可得ODOE的数量关系;根据旋转的性质和正方形的性质可得AC=AF以及ACF各内角的度数,进一步即可求出∠COE与∠DOF的度数,进而可得ODOE的位置关系;

2)延长EO到点M,使,连接DMCMDE,如图2所示,先根据SAS证明,得,再根据正方形的性质和旋转的性质推得,进一步在ACF中根据三角形内角和定理和正方形的性质得出,再一次运用SAS推出,于是,进一步即可得出OEOD的位置关系,然后再运用SAS推出,即可得ODOE的数量关系;

3)连接AO,如图3所示,先根据等腰三角形三线合一的性质得出,即可判断点O的运动路径,由可得点O经过的路径长,进一步即可求得结果.

解:(1;理由如下:

由旋转的性质得:

∵四边形ABCD是正方形,∴

OCF的中点,∴

同理:,∴

,∴

2)当时,(1)中的结论成立,理由如下:

延长EO到点M,使,连接DMCMDE,如图2所示:

OCF的中点,∴

中,

SAS),∴.

∵四边形ABCD是正方形,∴

绕点A逆时针旋转α

,∴

中,∵

,∴,∴

中,

SAS),∴

,∴

中,

SAS),∴.

,∴

3)连接AO,如图3所示:

,∴,∴

∴点O在以AC为直径的圆上运动,

,∴点O经过的路径长等于以AC为直径的圆的周长,

,∴点O经过的路径长为:

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