Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，2），点C为线段AB上任意一点（不与点A、B重合）．CD⊥OA于点D，点E在DC的延长线上，EF⊥y轴于点F，若点C为DE中点，则四边形ODEF的周长为_____．

Answer 1

【答案】8

【解析】

首先利用待定系数法求出直线AB的解析式，由点C在直线AB上设出点C的坐标为（m，-m+2），再由点C为线段DE的中点可找出点E的坐标，从而找出线段OD、DE的长度，利用ED⊥OA，EF⊥y轴，BO⊥OA可得出∠O=∠F=∠ODE=90°，从而得出四边形ODEF为矩形，再根据矩形的周长公式即可得出结论．

解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，

将点A（4，0）、点B（0，2）代入y＝kx+b中，

得：，

解得：．

∴直线AB的解析式为y＝﹣x+2．

设点C的坐标为（m，﹣m+2）（0＜m＜4），则点E的坐标为（m，﹣m+4），

∴OD＝EF＝m，CD＝2﹣m，DE＝4﹣m，

∵ED⊥OA，EF⊥y轴，BO⊥OA，

∴∠O＝∠F＝∠ODE＝90°，

∴四边形ODEF为矩形．

∴C矩形ODEF＝2×（OD+DE）＝2×（m+4﹣m）＝8．

故答案为：8．