Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过AO的中点C，交AB于点D，且AD＝3．

(1)设点A的坐标为(4，4)则点C的坐标为　 　；

(2)若点D的坐标为(4，n)．

①求反比例函数y＝的表达式；

②求经过C，D两点的直线所对应的函数解析式；

(3)在(2)的条件下，设点E是线段CD上的动点(不与点C，D重合)，过点E且平行y轴的直线l与反比例函数的图象交于点F，求△OEF面积的最大值．

Answer 1

【答案】(1)C(2，2)；(2)①反比例函数解析式为y＝；②直线CD的解析式为y＝﹣x+3；(3)m＝3时，S△OEF最大，最大值为.

【解析】

（1）利用中点坐标公式即可得出结论；
（2）①先确定出点A坐标，进而得出点C坐标，将点C，D坐标代入反比例函数中即可得出结论；
②由n=1，求出点C，D坐标，利用待定系数法即可得出结论；
（3）设出点E坐标，进而表示出点F坐标，即可建立面积与m的函数关系式即可得出结论．

(1)∵点C是OA的中点，A(4，4)，O(0，0)，

∴C，

∴C(2，2)；

故答案为(2，2)；

(2)①∵AD＝3，D(4，n)，

∴A(4，n+3)，

∵点C是OA的中点，

∴C(2，)，

∵点C，D(4，n)在双曲线上，

∴，

∴，

∴反比例函数解析式为；

②由①知，n＝1，

∴C(2，2)，D(4，1)，

设直线CD的解析式为y＝ax+b，

∴，

∴，

∴直线CD的解析式为y＝﹣x+3；

(3)如图，由(2)知，直线CD的解析式为y＝﹣x+3，

设点E(m，﹣m+3)，

由(2)知，C(2，2)，D(4，1)，

∴2＜m＜4，

∵EF∥y轴交双曲线于F，

∴F(m，)，

∴EF＝﹣m+3﹣，

∴S△OEF＝(﹣m+3﹣)×m＝(﹣m2+3m﹣4)＝﹣(m﹣3)2+，

∵2＜m＜4，

∴m＝3时，S△OEF最大，最大值为