Question

【题目】（教材呈现）下图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容.

例1 求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.

已知：如图，在中，，，.

求证：、互相平分.

证明：连结、.

请根据教材提示，结合图①，写出完整的解题过程.

（结论应用）如图②，连结图①的、，分别与、、交于点、、.

（1）若，求点、之间的距离.

（2）若四边形的面积为2，则的面积为______.

Answer 1

【答案】【教材呈现】答案见解析；【结论应用】（1）2；（2）24

【解析】

教材呈现：根据三角形中位线的性质可得，从而可得四边形ADEF是平行四边形，从而可证答案；

结论应用：（1）由【教材呈现】可证点M与N分别是DE，EF的中点，从而可知MN是△DEF的中位线，从而可求答案；

（2）设MN，OE的交点为H，AE，DF的交点为P，根据【教材呈现】可知点P为DF的中点，M是DE的中点，N是DC的中点，由（1）知MN是△EDF的中位线，利用三角形中线平分面积原理即可得出答案.

教材呈现:

解：，，

，

同理可得

四边形是平行四边形.

、互相平分.

结论应用：

解：（1）连结、，如图.

，，

是的中位线

是中线，

是中点.

同理可得是中点.

是的中位线.

（2）24

理由：设MN，OE的交点为H，AE，DF的交点为P，根据【教材呈现】可知点P为DF的中点，M是DE的中点，N是DC的中点，由（1）知MN是△EDF的中位线，

∴点H是MN的中点，

∴EH是△EMN的中线，OH是△OMN的中线，

根据三角形中线平分面积可知，

又∵四边形EMON的面积为2

∴

∵点M是DE的中点，

∴

∴

∵点N是DC的中点，

∴

∵点E是BC的中点，

∴

∵点D是AB的中点，

∴