Question

【题目】给定关于x的二次函数y＝kx2﹣4kx+3（k≠0），

（1）当该二次函数与x轴只有一个公共点时，求k的值；

（2）当该二次函数与x轴有2个公共点时，设这两个公共点为A、B，已知AB＝2，求k的值；

（3）由于k的变化，该二次函数的图象性质也随之变化，但也有不会变化的性质，某数学学习小组在探究时得出以下结论：

①与y轴的交点不变；②对称轴不变；③一定经过两个定点；

请判断以上结论是否正确，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）1（3）①②③

【解析】

（1）由抛物线与x轴只有一个交点，可知△=0；

（2）由抛物线与x轴有两个交点且AB=2，可知A、B坐标，代入解析式，可得k值；

（3）通过解析式求出对称轴，与y轴交点，并根据系数的关系得出判断．

（1）∵二次函数y＝kx2﹣4kx+3与x轴只有一个公共点，

∴关于x的方程kx2﹣4kx+3＝0有两个相等的实数根，

∴△＝（﹣4k）2﹣4×3k＝16k2﹣12k＝0，

解得：k1＝0，k2＝，

k≠0，

∴k＝；

（2）∵AB＝2，抛物线对称轴为x＝2，

∴A、B点坐标为（1，0），（3，0），

将（1，0）代入解析式，可得k＝1，

（3）①∵当x＝0时，y＝3，

∴二次函数图象与y轴的交点为（0，3），①正确；

②∵抛物线的对称轴为x＝2，

∴抛物线的对称轴不变，②正确；

③二次函数y＝kx2﹣4kx+3＝k（x2﹣4x）+3，将其看成y关于k的一次函数，

令k的系数为0，即x2﹣4x＝0，

解得：x1＝0，x2＝4，

∴抛物线一定经过两个定点（0，3）和（4，3），③正确．

综上可知：正确的结论有①②③．