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【题目】在直角坐标系中,过原点O及点A(8,0),C(0,6)作矩形OABC、连结OB,点DOB的中点,点E是线段AB上的动点,连结DE,作DFDE,交OA于点F,连结EF.已知点EA点出发,以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动,设移动时间为t秒.

(1)如图1,当t=3时,求DF的长.

(2)如图2,当点E在线段AB上移动的过程中,DEF的大小是否发生变化?如果变化,请说明理由;如果不变,请求出tan∠DEF的值.

(3)连结AD,当ADDEF分成的两部分的面积之比为1:2时,求相应的t的值.

【答案】(1)3;(2)∠DEF的大小不变,tan∠DEF=;(3)

【解析】试题(1)当t=3时,点EAB的中点,由三角形的中位线定理得出DE∥EADE=OA=4,再由矩形的性质证出DE⊥AB,得出∠OAB=∠DEA=90°,证出四边形DFAE是矩形,得出DF=AE=3即可;

2)作DM⊥OA于点MDN⊥ABN,证明四边形DMAN是矩形,得出∠MDN=90°DM∥ABDN∥OA,由平行线得出比例式,由三角形中位线定理得出DM=AB=3DN=OA=4,证明ΔDMF∽ΔDNE,得出,再由三角函数的定义即可得解;

3)作DM⊥OAMDN⊥ABN,若ADΔDEF的面积分为1:2的两部分,设ADEF于点G,则点GEF的三等分点.

当点E到达中点之前时,NE=3-t,由ΔDMF∽ΔDNE得:MF,求出AF=4+MF=,得出G),求出直线AD的解析式为y=-+6,把G)代入即可求出t的值;

当点超过中点之后,NEt-3,由由ΔDMF∽ΔDNE得:MF,求出AF=4-MF=,得出G),代入直线AD的解析式y=-+6即可求出t的值;

试题解析: (1)当t=3时,点EAB的中点,

∵A80),C06),

∴OA=8OC=6

DOB的中点,

∴DE∥OADE=OA=4

四边形OABC是矩形,

∴OA⊥AB

∴DE⊥AB

∴∠OAB=∠DEA=90°

∵DF⊥DE

∴∠EDF=90°

四边形DFAE是矩形,

∴DF=AE=3

2∠DEF的大小不变;理由如下:

DM⊥OAMDN⊥ABN,如图2所示:

四边形OABC是矩形,

∴OA⊥AB

四边形DMAN是矩形,

∴∠MDN=90°DM∥ABDN∥OA

DOB的中点,

∴MN分别是OAAB的中点,

∴DM=AB=3DN=OA=4

∵∠EDF=90°

∴∠FDM=∠EDN

∵∠DMF=∠DNE=90°

∴△DMF∽△DNE

∵∠EDF=90°

∴tan∠DEF=

3)作DM⊥OAMDN⊥ABN

AD△DEF的面积分成12的两部分,

ADEF于点G,则点GEF的三等分点;

当点E到达中点之前时,如图3所示,NE=3﹣t

△DMF∽△DNE得:MF=3﹣t),

∴AF=4+MF=﹣t+

GEF的三等分点,

∴G),

设直线AD的解析式为y=kx+b

A80),D43)代入得:

解得:

直线AD的解析式为y=﹣x+6

G)代入得:t=

当点E越过中点之后,如图4所示,NE=t﹣3

△DMF∽△DNE得:MF=t﹣3),

∴AF=4﹣MF=﹣t+

GEF的三等分点,

∴G),

代入直线AD的解析式y=﹣x+6得:t=

综上所述,当AD△DEF分成的两部分的面积之比为12时,t的值为.

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