Question

【题目】如图1，△ABC是等腰三角形，O是底边BC中点，腰AB与⊙O相切于点D

(1)求证：AC是⊙O的切线；

(2)如图2，连接CD，若tan∠BCD＝，⊙O的半径为，求BC的长．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)BC=6.

【解析】

（1）连接OD，作OF⊥AC于F，如图，利用等腰三角形的性质得AO⊥BC，AO平分∠BAC，再根据切线的性质得OD⊥AB，然后利用角平分线的性质得到OF=OD，从而根据切线的判定定理得到结论；
（2）过D作DF⊥BC于F，连接OD，根据三角函数的定义得到，设DF=a，OF=x，则CF=4a，OC=4a-x根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论．

(1)证明：连接OD，OA，作OF⊥AC于F，如图，

∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，

∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，

∵AB与⊙O相切于点D，

∴OD⊥AB，

而OF⊥AC，

∴OF＝OD，

∴AC是⊙O的切线；

(2)过D作DF⊥BC于F，连接OD，

∵tan∠BCD＝，

∴，

设DF＝a，OF＝x，则CF＝4a，OC＝4a﹣x，

∵O是底边BC中点，

∴OB＝OC＝4a﹣x，

∴BF＝OB﹣OF＝4a﹣2x，

∵OD⊥AB，

∴∠BDO＝90°，

∴∠BDF+∠FDO＝90°，

∵DF⊥BC，

∴∠DFB＝∠OFD＝90°，∠FDO+∠DOF＝90°，

∴∠BDF＝∠DOF，

∴△DFO∽△BFD，

∴，

∴，

解得：x1＝x2＝a，

∵⊙O的半径为，

∴OD＝，

∵DF2+FO2＝DO2，

∴(x)2+x2＝()2，

∴x1＝x2＝a＝1，

∴OC＝4a﹣x＝3，

∴BC＝2OC＝6．