Question

【题目】已知矩形ABCD，作∠ABC的平分线交AD边于点M，作∠BMD的平分线交CD边于点N．

（1）若N为CD的中点，如图1，求证：BM＝AD+DM；

（2）若N与C点重合，如图2，求tan∠MCD的值；

（3）若，AB＝6，如图3，求BC的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；

【解析】

（1）如图1，作辅助线，构建全等三角形，证明△DNM≌△CNE（AAS），得DM=CE，证明∠BMN=∠E=67.5°，可得结论；

（2）如图2，当N与C重合时，BC=BM，设AB=x，则BM=BC=x，表示DM的长，根据三角函数定义可得结论；

（3）如图3，延长MN、BC交于点G，根据等腰直角三角形定义可得BM的长，即是BG的长，设CG=m，则DM=2m，表示BC的长，列方程可得结论．

（1）证明：如图1，延长MN、BC交于点E，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝90°，

∴∠D＝∠NCE，∠DMN＝∠NEC，

∵N是DC的中点，

∴DN＝CN，

∴△DNM≌△CNE（AAS），

∴DM＝CE，

∵BM平分∠ABC，∠ABC＝90°，

∴∠ABM＝∠MBE＝45°，

∵AD∥BC，

∴∠AMB＝∠EBM＝45°，

∴∠BMD＝180°﹣45°＝135°，

∵MN平分∠BMD，

∴∠BMN＝∠DMN＝67.5°，

∴∠E＝∠DMN＝67.5°，

∴∠BMN＝∠E＝67.5°，

∴BM＝BE＝BC+CE＝AD+DM；

（2）解：如图2，当N与C重合时，

由（1）知：∠BMC＝∠DMN＝∠BCM，

∴BC＝BM，

设AB＝x，则BM＝BC＝x，

∵AD＝BC，

∴DM＝x﹣x，

Rt△DMC中，tan∠MCD＝；

（3）解：如图3，延长MN、BC交于点G，

∵四边形ABCD是矩形，

∴CD＝AB＝6，

∵，

∴CN＝2，DN＝4，

∵△ABM是等腰直角三角形，

∴BM＝6，

由（1）知：BM＝BG＝6，

∵DM∥CG，

∴△DMN∽△CGN，

∴，

设CG＝m，则DM＝2m，

6＝6+2m+m，

m＝2﹣2，

∴BC＝6+2m＝2+4．