Question

【题目】已知：如图，二次函数y＝ax2+bx+的图象经过点A（2，6）和B（4，4），直线l经过点B并与x轴垂直，垂足为Q．

（1）求二次函数的表达式；

（2）如图1，作AK⊥x轴，垂足为K，连接AO，点R是直线1上的点，如果△AOK与以O，Q，R为顶点的三角形相似，请直接写出点R的纵坐标；

（3）如图2，正方形CDEF的顶点C是第二象限抛物线上的点，点D，E在直线1上，以CF为底向右做等腰△CFM，直线l与CM，FM的交点分别是G，H，并且CG＝GM，FH＝HM，连接CE，与FM的交点为N，且点N的纵坐标是﹣1．

求：①tan∠DCG的值；

②点C的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣；（2）点R的纵坐标为12，﹣12，或﹣；（3）①tan∠DCG的值是，②点C坐标为（﹣1，3）．

【解析】

（1）将点A（2，6）和B（4，4）代入抛物线解析式，得方程组，解得a和b，再代回原解析式即可；

（2）设点R的纵坐标为n，则QN＝|n|，分两种情况，根据相似关系列比例式即可解得；

（3）①由三角形的中位线，及证Rt△CDG≌Rt△FEH （HL）可解；

②先根据点C在抛物线上，设其横坐标为m，然后用其分别表示出相关点的坐标，并表示出直线CE，再根据△CFN∽△EHN，及相似三角形对应边上的高之比也等于相似比，从而建立关于m的方程，解之，然后代回点C即可．

（1）将点A（2，6）和B（4，4）代入y＝ax2+bx+得：

，解得

∴二次函数的表达式为y＝．

（2）∵A（2，6），AK⊥x轴，

∴K（2，0），

△AOK中，OK＝2，AK＝6，OA＝，

△OQR中，OQ＝4，

设点R的纵坐标为n，则QN＝|n|，

如果△AOK与以O，Q，R为顶点的三角形相似，有两种情况：

①，则n＝±12；

② ，则 ，从而n＝±．

答：点R的纵坐标为，12，﹣12，或﹣．

（3）①∵CG＝GM，FH＝HM，

∴GH∥CF，GH＝CF，

∵等腰△CFM，

∴CG＝FH，

∵CDEF为正方形，

∴CD＝EF，∠CDG＝∠FEH＝90°，

∴Rt△CDG≌Rt△FEH （HL），

∴DG＝EH，

∵GH＝CF，

∴DG＝EH＝CF＝CD，

∴tan∠DCG＝＝，

答：tan∠DCG的值是．

②∵C是第二象限抛物线y＝上的点，

∴设点C坐标为（m，），则DC＝4﹣m，

∴F（m，﹣4+m），即F（m，），

∴E（4，），

∵CDEF为正方形，

∴∠DEC＝45°，

故可设CE解析式为：y＝﹣x+b，将点E坐标代入得b＝．

∴CE解析式为：y＝﹣x﹣，

∵点N的纵坐标是﹣1，

∴﹣1＝﹣x﹣，x＝﹣，

∴点N坐标为（﹣，﹣1），

∵CDEF为正方形，

∴CF∥EH，

∴△CFN∽△EHN，

∵tan∠DCG＝＝，DG＝EH，CD＝CF，

∴，则EH边上的高与CF边上的高的比值也为，

∴，

化简得：﹣2m2+11m+13＝0，解得m＝（舍）或m＝﹣1，

∴点C坐标为（﹣1，3）．

答：点C坐标为（﹣1，3）．