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    【题目】如图所示，某海盗船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处使，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，求出此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长，结果精确到0.1）（参考数据：≈1.732，≈1.414）

    【答案】PC≈69.3（海里）．

    【解析】

    首先证明PB=BC，推出∠C=30°，可得PC=2PA，求出PA即可解决问题．

    在Rt△PAB中，∵∠APB＝30°，

    ∴PB＝2AB，

    由题意BC＝2AB，

    ∴PB＝BC，

    ∴∠C＝∠CPB，

    ∵∠ABP＝∠C+∠CPB＝60°，

    ∴∠C＝30°，

    ∴PC＝2PA，

    ∵PA＝ABtan60°，

    ∴PC＝2×20×≈69.3（海里）．

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    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】（1）问题发现

    如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．填空：

    ①的值为　 　；

    ②∠AMB的度数为　 　．

    （2）类比探究

    如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由；

    （3）拓展延伸

    在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD=1，OB=，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．

    【答案】（1）①1；②40°；（2），90°；（3）AC的长为3或2．

    【解析】

    （1）①证明△COA≌△DOB（SAS），得AC=BD，比值为1；

    ②由△COA≌△DOB，得∠CAO=∠DBO，根据三角形的内角和定理得：∠AMB=180°-（∠DBO+∠OAB+∠ABD）=180°-140°=40°；

    （2）根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC∽△BOD，则，由全等三角形的性质得∠AMB的度数；

    （3）正确画图形，当点C与点M重合时，有两种情况：如图3和4，同理可得：△AOC∽△BOD，则∠AMB=90°，，可得AC的长．

    （1）问题发现：

    ①如图1，

    ∵∠AOB=∠COD=40°，

    ∴∠COA=∠DOB，

    ∵OC=OD，OA=OB，

    ∴△COA≌△DOB（SAS），

    ∴AC=BD，

    ∴

    ②∵△COA≌△DOB，

    ∴∠CAO=∠DBO，

    ∵∠AOB=40°，

    ∴∠OAB+∠ABO=140°，

    在△AMB中，∠AMB=180°-（∠CAO+∠OAB+∠ABD）=180°-（∠DBO+∠OAB+∠ABD）=180°-140°=40°，

    （2）类比探究：

    如图2，，∠AMB=90°，理由是：

    Rt△COD中，∠DCO=30°，∠DOC=90°，

    ∴，

    同理得：，

    ∴，

    ∵∠AOB=∠COD=90°，

    ∴∠AOC=∠BOD，

    ∴△AOC∽△BOD，

    ∴ ，∠CAO=∠DBO，

    在△AMB中，∠AMB=180°-（∠MAB+∠ABM）=180°-（∠OAB+∠ABM+∠DBO）=90°；

    （3）拓展延伸：

    ①点C与点M重合时，如图3，

    同理得：△AOC∽△BOD，

    ∴∠AMB=90°，，

    设BD=x，则AC=x，

    Rt△COD中，∠OCD=30°，OD=1，

    ∴CD=2，BC=x-2，

    Rt△AOB中，∠OAB=30°，OB=，

    ∴AB=2OB=2，

    在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，

    (x)2+(x2)2＝(2)2，

    x2-x-6=0，

    （x-3）（x+2）=0，

    x1=3，x2=-2，

    ∴AC=3；

    ②点C与点M重合时，如图4，

    同理得：∠AMB=90°，，

    设BD=x，则AC=x，

    在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，

    (x)2+（x+2）2=(2)2.

    x2+x-6=0，

    （x+3）（x-2）=0，

    x1=-3，x2=2，

    ∴AC=2；.

    综上所述，AC的长为3或2．

    点睛：本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等和相似的性质和判定，几何变换问题，解题的关键是能得出：△AOC∽△BOD，根据相似三角形的性质，并运用类比的思想解决问题，本题是一道比较好的题目．

    【题型】解答题
    【结束】
    25

    【题目】如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0）．

    （1）求该抛物线的解析式；

    （2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；

    （3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】（本题满分8分）

    为了加强学生课外阅读，开阔视野，某校开展了“书香校园，从我做起”的主题活动．学校随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行调查，绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分如下：

    请根据图表信息回答下列问题：

    （1）频数分布表中的 ， ；

    （2）将频数分布直方图补充完整；

    （3）学校将每周课外阅读时间在小时以上的学生评为“阅读之星”，请你估计该校名学生中评为“阅读之星”的有多少人？

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】已知：如图，矩形ABCD，AB＝2，BC＝4，对角线AC，BD相交于点O，点P在对角线BD上，并且A，O，P组成以OP为腰的等腰三角形，那么OP的长等于___．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】已知：如图，二次函数y＝ax2+bx+的图象经过点A（2，6）和B（4，4），直线l经过点B并与x轴垂直，垂足为Q．

    （1）求二次函数的表达式；

    （2）如图1，作AK⊥x轴，垂足为K，连接AO，点R是直线1上的点，如果△AOK与以O，Q，R为顶点的三角形相似，请直接写出点R的纵坐标；

    （3）如图2，正方形CDEF的顶点C是第二象限抛物线上的点，点D，E在直线1上，以CF为底向右做等腰△CFM，直线l与CM，FM的交点分别是G，H，并且CG＝GM，FH＝HM，连接CE，与FM的交点为N，且点N的纵坐标是﹣1．

    求：①tan∠DCG的值；

    ②点C的坐标．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，⊙O是正△ABC的外接圆，点D为圆上一点，连接AD，分别过点B和点C作AD延长线的垂线，垂足分别为点E和点F，连接BD、CD，已知EB=3，FC=2，现在有如下4个结论：①∠CDF=60°；②△EDB∽△FDC；③BC=；④，其中正确的结论有（　　）个

    A. 1

    B. 2

    C. 3

    D. 4

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】某班6个合作小组的人数分别是4，6，4，5，7，8，现第4小组调出1人去第2小组，则新各组人数分别为：4，7，4，4，7，8，下列关于调配后的数据说法正确的是（　　）

    A. 调配后平均数变小了B. 调配后众数变小了

    C. 调配后中位数变大了D. 调配后方差变大了

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】如图在平面直角坐标系中反比例函数y＝的图象经过点P(4，3)和点B(m，n)(其中0＜m＜4)，作BA⊥x轴于点A，连接PA、OB，过P、B两点作直线PB，且S△AOB＝S△PAB

    (1)求反比例函数的解析式；

    (2)求点B的坐标．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】（11·湖州）（本小题10分）

    我市水产养殖专业户王大爷承包了30亩水塘，分别养殖甲鱼和桂鱼，有关成本、销售情况如下表：

    ⑴2010年，王大爷养殖甲鱼20亩，桂鱼10亩，求王大爷这一年共收益多少万元？（收益=销售额－成本）

    ⑵2011年，王大爷继续用这30亩水塘全部养殖甲鱼和桂鱼，计划投入成本不超过70万元。若每亩养殖的成本、销售额与2010年相同，要获得最大收益，他应养殖甲鱼和桂鱼各多少亩？

    ⑶已知甲鱼每亩需要饲料500㎏，桂鱼每亩需要饲料700㎏，根据⑵中的养殖亩数，为了节约运输成本，实际使用的运输车辆每次装载饲料的总量是原计划每次装载总量的2倍，结果运输养殖所需要全部饲料比原计划减少了2次，求王大爷原定的运输车辆每次可装载饲料多少㎏？

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