【题目】如图所示,某海盗船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务,当海监船由西向东航行至A处使,测得岛屿P恰好在其正北方向,继续向东航行1小时到达B处,测得岛屿P在其北偏西30°方向,保持航向不变又航行2小时到达C处,求出此时海监船与岛屿P之间的距离(即PC的长,结果精确到0.1)(参考数据:≈1.732,
≈1.414)
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】(1)问题发现
如图1,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°,连接AC,BD交于点M.填空:
①的值为 ;
②∠AMB的度数为 .
(2)类比探究
如图2,在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,连接AC交BD的延长线于点M.请判断的值及∠AMB的度数,并说明理由;
(3)拓展延伸
在(2)的条件下,将△OCD绕点O在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M,若OD=1,OB=,请直接写出当点C与点M重合时AC的长.
【答案】(1)①1;②40°;(2),90°;(3)AC的长为3
或2
.
【解析】
(1)①证明△COA≌△DOB(SAS),得AC=BD,比值为1;
②由△COA≌△DOB,得∠CAO=∠DBO,根据三角形的内角和定理得:∠AMB=180°-(∠DBO+∠OAB+∠ABD)=180°-140°=40°;
(2)根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC∽△BOD,则,由全等三角形的性质得∠AMB的度数;
(3)正确画图形,当点C与点M重合时,有两种情况:如图3和4,同理可得:△AOC∽△BOD,则∠AMB=90°,,可得AC的长.
(1)问题发现:
①如图1,
∵∠AOB=∠COD=40°,
∴∠COA=∠DOB,
∵OC=OD,OA=OB,
∴△COA≌△DOB(SAS),
∴AC=BD,
∴
②∵△COA≌△DOB,
∴∠CAO=∠DBO,
∵∠AOB=40°,
∴∠OAB+∠ABO=140°,
在△AMB中,∠AMB=180°-(∠CAO+∠OAB+∠ABD)=180°-(∠DBO+∠OAB+∠ABD)=180°-140°=40°,
(2)类比探究:
如图2,,∠AMB=90°,理由是:
Rt△COD中,∠DCO=30°,∠DOC=90°,
∴,
同理得:,
∴,
∵∠AOB=∠COD=90°,
∴∠AOC=∠BOD,
∴△AOC∽△BOD,
∴ ,∠CAO=∠DBO,
在△AMB中,∠AMB=180°-(∠MAB+∠ABM)=180°-(∠OAB+∠ABM+∠DBO)=90°;
(3)拓展延伸:
①点C与点M重合时,如图3,
同理得:△AOC∽△BOD,
∴∠AMB=90°,,
设BD=x,则AC=x,
Rt△COD中,∠OCD=30°,OD=1,
∴CD=2,BC=x-2,
Rt△AOB中,∠OAB=30°,OB=,
∴AB=2OB=2,
在Rt△AMB中,由勾股定理得:AC2+BC2=AB2,
(x)2+(x2)2=(2
)2,
x2-x-6=0,
(x-3)(x+2)=0,
x1=3,x2=-2,
∴AC=3;
②点C与点M重合时,如图4,
同理得:∠AMB=90°,,
设BD=x,则AC=x,
在Rt△AMB中,由勾股定理得:AC2+BC2=AB2,
(x)2+(x+2)2=(2
)2.
x2+x-6=0,
(x+3)(x-2)=0,
x1=-3,x2=2,
∴AC=2;.
综上所述,AC的长为3或2
.
点睛:本题是三角形的综合题,主要考查了三角形全等和相似的性质和判定,几何变换问题,解题的关键是能得出:△AOC∽△BOD,根据相似三角形的性质,并运用类比的思想解决问题,本题是一道比较好的题目.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx﹣3(a≠0)经过点A(3,0),B(﹣1,0).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M,求切点M的坐标;
(3)若点Q在x轴上,点P在抛物线上,是否存在以点B,C,Q,P为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】(本题满分8分)
为了加强学生课外阅读,开阔视野,某校开展了“书香校园,从我做起”的主题活动.学校随机抽取了部分学生,对他们一周的课外阅读时间进行调查,绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分如下:
请根据图表信息回答下列问题:
(1)频数分布表中的 ,
;
(2)将频数分布直方图补充完整;
(3)学校将每周课外阅读时间在小时以上的学生评为“阅读之星”,请你估计该校
名学生中评为“阅读之星”的有多少人?
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【题目】已知:如图,矩形ABCD,AB=2,BC=4,对角线AC,BD相交于点O,点P在对角线BD上,并且A,O,P组成以OP为腰的等腰三角形,那么OP的长等于___.
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【题目】已知:如图,二次函数y=ax2+bx+的图象经过点A(2,6)和B(4,4),直线l经过点B并与x轴垂直,垂足为Q.
(1)求二次函数的表达式;
(2)如图1,作AK⊥x轴,垂足为K,连接AO,点R是直线1上的点,如果△AOK与以O,Q,R为顶点的三角形相似,请直接写出点R的纵坐标;
(3)如图2,正方形CDEF的顶点C是第二象限抛物线上的点,点D,E在直线1上,以CF为底向右做等腰△CFM,直线l与CM,FM的交点分别是G,H,并且CG=GM,FH=HM,连接CE,与FM的交点为N,且点N的纵坐标是﹣1.
求:①tan∠DCG的值;
②点C的坐标.
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【题目】如图,⊙O是正△ABC的外接圆,点D为圆上一点,连接AD,分别过点B和点C作AD延长线的垂线,垂足分别为点E和点F,连接BD、CD,已知EB=3,FC=2,现在有如下4个结论:①∠CDF=60°;②△EDB∽△FDC;③BC=;④
,其中正确的结论有( )个
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
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【题目】某班6个合作小组的人数分别是4,6,4,5,7,8,现第4小组调出1人去第2小组,则新各组人数分别为:4,7,4,4,7,8,下列关于调配后的数据说法正确的是( )
A. 调配后平均数变小了B. 调配后众数变小了
C. 调配后中位数变大了D. 调配后方差变大了
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【题目】如图在平面直角坐标系中反比例函数y=的图象经过点P(4,3)和点B(m,n)(其中0<m<4),作BA⊥x轴于点A,连接PA、OB,过P、B两点作直线PB,且S△AOB=S△PAB
(1)求反比例函数的解析式;
(2)求点B的坐标.
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【题目】(11·湖州)(本小题10分)
我市水产养殖专业户王大爷承包了30亩水塘,分别养殖甲鱼和桂鱼,有关成本、销售情况如下表:
⑴2010年,王大爷养殖甲鱼20亩,桂鱼10亩,求王大爷这一年共收益多少万元?(收益=销售额-成本)
⑵2011年,王大爷继续用这30亩水塘全部养殖甲鱼和桂鱼,计划投入成本不超过70万元。若每亩养殖的成本、销售额与2010年相同,要获得最大收益,他应养殖甲鱼和桂鱼各多少亩?
⑶已知甲鱼每亩需要饲料500㎏,桂鱼每亩需要饲料700㎏,根据⑵中的养殖亩数,为了节约运输成本,实际使用的运输车辆每次装载饲料的总量是原计划每次装载总量的2倍,结果运输养殖所需要全部饲料比原计划减少了2次,求王大爷原定的运输车辆每次可装载饲料多少㎏?
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