Question

【题目】（1）问题发现

如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．填空：

①的值为　 　；

②∠AMB的度数为　 　．

（2）类比探究

如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由；

（3）拓展延伸

在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD=1，OB=，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．

【答案】（1）①1；②40°；（2），90°；（3）AC的长为3或2．

【解析】

（1）①证明△COA≌△DOB（SAS），得AC=BD，比值为1；

②由△COA≌△DOB，得∠CAO=∠DBO，根据三角形的内角和定理得：∠AMB=180°-（∠DBO+∠OAB+∠ABD）=180°-140°=40°；

（2）根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC∽△BOD，则，由全等三角形的性质得∠AMB的度数；

（3）正确画图形，当点C与点M重合时，有两种情况：如图3和4，同理可得：△AOC∽△BOD，则∠AMB=90°，，可得AC的长．

（1）问题发现：

①如图1，

∵∠AOB=∠COD=40°，

∴∠COA=∠DOB，

∵OC=OD，OA=OB，

∴△COA≌△DOB（SAS），

∴AC=BD，

∴

②∵△COA≌△DOB，

∴∠CAO=∠DBO，

∵∠AOB=40°，

∴∠OAB+∠ABO=140°，

在△AMB中，∠AMB=180°-（∠CAO+∠OAB+∠ABD）=180°-（∠DBO+∠OAB+∠ABD）=180°-140°=40°，

（2）类比探究：

如图2，，∠AMB=90°，理由是：

Rt△COD中，∠DCO=30°，∠DOC=90°，

∴，

同理得：，

∴，

∵∠AOB=∠COD=90°，

∴∠AOC=∠BOD，

∴△AOC∽△BOD，

∴ ，∠CAO=∠DBO，

在△AMB中，∠AMB=180°-（∠MAB+∠ABM）=180°-（∠OAB+∠ABM+∠DBO）=90°；

（3）拓展延伸：

①点C与点M重合时，如图3，

同理得：△AOC∽△BOD，

∴∠AMB=90°，，

设BD=x，则AC=x，

Rt△COD中，∠OCD=30°，OD=1，

∴CD=2，BC=x-2，

Rt△AOB中，∠OAB=30°，OB=，

∴AB=2OB=2，

在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，

(x)2+(x2)2＝(2)2，

x2-x-6=0，

（x-3）（x+2）=0，

x1=3，x2=-2，

∴AC=3；

②点C与点M重合时，如图4，

同理得：∠AMB=90°，，

设BD=x，则AC=x，

在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，

(x)2+（x+2）2=(2)2.

x2+x-6=0，

（x+3）（x-2）=0，

x1=-3，x2=2，

∴AC=2；.

综上所述，AC的长为3或2．

点睛：本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等和相似的性质和判定，几何变换问题，解题的关键是能得出：△AOC∽△BOD，根据相似三角形的性质，并运用类比的思想解决问题，本题是一道比较好的题目．

【题型】解答题
【结束】
25

【题目】如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；

（3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）M （3）P的坐标为（1+ ，3）或（1﹣，3）或（2，﹣3）．

【解析】

(1)把点A(3,0),B(-1,0)代入二次函数表达式,即可求解;

(2)利用△AON≌△COB(AAS),求出N(0,-1),即可求解;

(3)分BC为平行四边形的一条边、BC为平行四边形的对角线两种情况,求解即可

解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0）．

∴ ，解得： ，

∴该抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；

（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，则AM⊥BC，

如图，过点A作AM⊥BC，垂足为点M，交y轴与点N．

把x＝0代入y＝x2﹣2x﹣3得，y＝﹣3，

∴C（0，﹣3），

∵A（3，0），B（﹣1，0），

∴OA＝OC，OB＝1，

∵AM⊥BC，

∴∠AMB＝∠AON＝∠BOC＝90°，

∴∠BAM+∠OBC＝∠BAM+∠ONA＝90°，

∴∠ONA＝∠OBC，

∴△AON≌△COB（AAS），

∴ON＝OB＝1，

∴N（0，﹣1），

设直线AM解析式为y＝k1x+b1，

把A（3，0），N（0，﹣1）分别代入得 ，

解得： ，

∴直线AM解析式为y＝x﹣1…①，

设直线BC解析式为y＝k2x+b2，

同理可得：直线BC解析式为y＝﹣3x﹣3…②，

联立①②并解得： ，

则M（﹣ ，﹣ ）；

（3）存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，

①当BC为平行四边形的一条边时，如图CBP′Q′，

点C（0，﹣3）向上3个单位、向左1个单位得到点B（﹣1，0），

同理点Q′（m，0）向上3个单位、向左1个单位得到点P′（m﹣1，3），

将点P′坐标代入二次函数表达式并解得：x＝2 ，

故点P′坐标为（1+ ，3）或（1﹣，3）；

②当BC为平行四边形的对角线时，如图CPBQ，

点P的坐标为（2，﹣3）；

P的坐标为（1+，3）或（1﹣，3）或（2，﹣3）．