Question

【题目】如图，OA、OB是⊙O的两条半径，OA⊥OB，C是半径OB上一动点，连接AC并延长交⊙O于D，过点D作圆的切线交OB的延长线于E，已知OA＝6．

（1）求证：∠ECD＝∠EDC；

（2）若BC＝2OC，求DE长；

（3）当∠A从15°增大到30°的过程中，求弦AD在圆内扫过的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）8；（3） .

【解析】

（1）连接OD，由切线的性质得出∠EDC+∠ODA=90°，由等腰三角形的性质得出∠ODA=∠OAC，得出∠EDC=∠ACO，即可得出结论；

（2）设DE=x，则CE=DE=x，OE=2+x，在Rt△ODE中，由勾股定理得出方程，解法长即可；

（3）过点D作DF⊥AO交AO的延长线于F，当∠A=15°时，∠DOF=30°，得出DF=OD=OA=3，∠DOA=150°，S弓形ABD=S扇形ODA-S△AOD=15π-9，当∠A=30°时，∠DOF=60°，S弓形ABD=S扇形ODA-S△AOD=12π-9，即可得出结果．

（1）证明：连接OD，如图1所示：

∵DE是⊙O的切线，

∴∠EDC+∠ODA＝90°，

∵OA⊥OB，

∴∠ACO+∠OAC＝90°，

∵OA、OB是⊙O的两条半径，

∴OA＝OB，

∴∠ODA＝∠OAC，

∴∠EDC＝∠ACO，

∵∠ECD＝∠ACO，

∴∠ECD＝∠EDC；

（2）∵BC＝2OC，OB＝OA＝6，

∴OC＝2，

设DE＝x，

∵∠ECD＝∠EDC，

∴CE＝DE＝x，

∴OE＝2+x，

∵∠ODE＝90°，

∴OD2+DE2＝OE2，

即：62+x2＝（2+x）2，

解得：x＝8，

∴DE＝8；

（3）解：过点D作DF⊥AO交AO的延长线于F，如图2所示：

当∠A＝15°时，∠DOF＝30°，

∴DF＝OD＝OA＝3，∠DOA＝150°，

S弓形ABD＝S扇形ODA﹣S△AOD＝﹣OADF＝15π﹣×6×3＝15π﹣9，

当∠A＝30°时，∠DOF＝60°，

∴DF＝OD＝OA＝3，∠DOA＝120°，

S弓形ABD＝S扇形ODA﹣S△AOD＝﹣OADF＝12π﹣×6×3＝12π﹣9，

∴当∠A从15°增大到30°的过程中，AD在圆内扫过的面积＝（15π﹣9）﹣（12π﹣9）＝3π+9﹣9．