Question

【题目】 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是边AB上一点，且AE＝2EB，点P是边BC上一动点，连接EP，过点P作PQ⊥PE交射线CD于点Q．若点C关于直线PQ的对称点恰好落在边AD上，则BP的长为_____．

Answer 1

【答案】1或

【解析】

过点P作 PF⊥AD于点F，可证得四边形CPFD是矩形，可证得△BEP∽△CPQ和△PFC'∽△C'DQ，从而得，，可设设BP=x，则DF=PC=4-x，可求得CQ，继而可求得C'D，FC'与BP的关系，而DF=C'D+FC'，通过解一元二次方程，解得x，即可求得BP．

如图，过点P作 PF⊥AD于点F

∴∠PFC＝90°

∵矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4

∴∠FAB＝∠B＝∠C＝∠QDC'＝90°，CD＝AB＝3

∴四边形CPFD是矩形

∴DF＝PC，PF＝CD＝3

∵AE＝2EB

∴AE＝2，EB＝1

设BP＝x，则DF＝PC＝4﹣x

∵点C与C'关于直线PQ对称

∴△PC'Q≌△PCQ

∴PC'＝PC＝4﹣x，C'Q＝CQ，∠PC'Q＝∠C＝90°

∵PE⊥PQ

∴∠BPE+∠CPQ＝90°

∵∠BEP+∠BPE＝90°

∴∠BPE＝∠CPQ

∴△BEP∽△CPQ

同理可得：△PFC'∽△C'DQ

∴，，

∴CQ＝＝x（4﹣x）

∴C'Q＝x（4﹣x），DQ＝3﹣x（4﹣x）＝x2﹣4x+3

∴

∴C'D＝3x，FC′＝

∵FC'+C'D＝DF

∴+3x＝4﹣x

解得x＝1或x＝

故答案为1或