Question

【题目】（1）阅读理解

我们知道，平面内互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系．如果两条数轴不垂直，而是相交成任意的角ω（0°＜ω＜180°且ω≠90°），那么这两条数轴构成的是平面斜坐标系．如图1，经过平面内一点P作坐标轴的平行线PM和PN交x轴和y轴于M、N，点M、N在x轴和y轴上所对应的数分别叫做P点的x坐标和y坐标．

如图2，ω=30°，直角三角形的顶点A在坐标原点O，点B、C分别在x轴和y轴上，AB=，则点B、C在此斜坐标系内的坐标分别为B ，C ．

（2）尝试应用

如图3，ω=45°，O为坐标原点，边长为1的正方形OABC一边OA在x轴上，设点G（x，y）在经过A、C两点的直线上，求y与x之间满足的关系式．

（3）深入探究

如图4，ω=60°，O为坐标原点，M（2，2），圆M的半径为．有一个内角为60°的菱形，菱形的一边在x轴上，另有两边所在直线恰好与圆M相切，求此菱形的边长．

Answer 1

【答案】（1）（，0），C（0，2）； （2）y=-x+．（3）1或2或3.

【解析】

（1）根据平面斜坐标系中点的坐标的定义计算即可；

（2）求出A、C两点坐标，利用待定系数法即可解决问题；

（3）分三种情形①如图4-1中，当菱形ABCD的边AD、BC与⊙M相切于E、F时；②如图4-2中，当菱形ABCD的边AD、DC与⊙M相切于E、F时，连接EM、MF；③如图4-3中，当菱形ABCD的边AD、DC与⊙M相切于E、F时，连接EM、DM、MF．分别求解即可解决问题；

（1）如图2中，

B（，0），C（0，2），

故答案为（，0），C（0，2）；

（2）如图3中，由题意C（-1，），A（1，0），

设直线AC是解析式为y=kx+b，

则有：，

解得

∴y=-x+．

（3）①如图4-1中，当菱形ABCD的边AD、BC与⊙M相切于E、F时，作BH⊥AD于H．

∵四边形BHEF是矩形，

∴BH=EF=，

在Rt△ABH中，∵∠BAH=60°，

∴AB=BH÷cos60°=2．

②如图4-2中，当菱形ABCD的边AD、DC与⊙M相切于E、F时，连接EM、MF．

易知AE=，DE=，所以AD=AE-DE=1，

∴AB=AD=1．

③如图4-3中，当菱形ABCD的边AD、DC与⊙M相切于E、F时，连接EM、DM、MF．

易知AE=，DE=，所以AD=AB=AE+DE=3．

综上所述，菱形的边长为1或2或3．