Question

【题目】数学概念

在两个等腰三角形中，如果其中一个三角形的底边长和底角的度数分别等于另一个三角形的腰长和顶角的度数，那么称这两个等腰三角形互为姊妹三角形．

概念理解

（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC，请用直尺和圆规作出它的姊妹三角形（保留作图痕迹，不写作法）．

特例分析

（2）①在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，，求它的姊妹三角形的顶角的度数和腰长；

②如图②，在△ABC中，AB＝AC，D是AC上一点，连接BD．若△ABC与△ABD互为姊妹三角形，且△ABC∽△BCD，则∠A＝　 　°．

深入研究

（3）下列关于姊妹三角形的结论：

①每一个等腰三角形都有姊妹三角形；

②等腰三角形的姊妹三角形是锐角三角形；

③如果两个等腰三角形互为姊妹三角形，那么这两个三角形可能全等；

④如果一个等腰三角形存在两个不同的姊妹三角形，那么这两个三角形也一定互为姊妹三角形．

其中所有正确结论的序号是　 　．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①△ABC的姊妹三角形的顶角为75°时，腰长为；顶角为120°时，腰长为；②∠A＝　36　°．（3）所有正确结论的序号是　①③　．

【解析】

（1）根据姊妹三角形的定义画出图形即可；

（2）①过点B作BG⊥AC，垂足为G．设BG＝x，想办法构建方程解决问题即可；

②首先证明∠A＝∠ABD，∠BDC＝∠C＝∠ABC，设∠A＝x，利用三角形内角和定理构建方程即可解决问题；

（3）根据姊妹三角形的定义一一判断即可．

（1）如图，△DEF即为所求．

（2）①设△ABC的姊妹三角形为△DEF，且DE＝DF．

∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，BC＝﹣，

∴∠B＝∠C＝75°，

过点B作BG⊥AC，垂足为G．设BG＝x，

则AB＝AC＝2x，AG＝x，

∴CG＝AC﹣AG＝2x﹣x＝（2﹣）x，

在Rt△BGC中，BG2+CG2＝BC2，

∴x2+（2﹣）2x2＝（﹣）2，

∴x＝1，

∴AB＝AC＝2．

第一种情形：∠D＝∠ABC＝75°，

DE＝DF＝BC＝﹣．

第二种情形：当∠E＝∠A＝30°时，∠EDF＝120°．

EF＝AB＝2．

过点D作DH⊥EF，垂足为H．

∵DE＝DF，∴EH＝EF＝1．

∴ED＝，

∴△ABC的姊妹三角形的顶角为75°时，腰长为﹣；顶角为120°时，腰长为；

②如图②中，

∵△ABC∽△BCD，

∴∠A＝∠CBD，∠C＝∠BDC＝∠ABC，

∵△ABC与△ABD互为姊妹三角形，

∴BC＝BD，

∵∠DBC＝∠A+∠ABD，∠C＝∠ABC＝∠DBC+∠ABD，

∴∠A＝∠ABD，设∠A＝x，则∠DBC＝x，∠BDC＝∠C＝2x，

∴5x＝180°，

∴x＝36°

故答案为：36；

（3）①每一个等腰三角形都有姊妹三角形；正确．

②等腰三角形的姊妹三角形是锐角三角形；错误．

③如果两个等腰三角形互为姊妹三角形，那么这两个三角形可能全等；正确．

④如果一个等腰三角形存在两个不同的姊妹三角形，那么这两个三角形也一定互为姊妹三角形．错误．

故答案为①③．