Question

【题目】已知是等腰三角形，，，点在边上，点在边上（点不与所在线段端点重合），，连接，射线，延长交射线于点，点在直线上，且．

（1）如图，当时，请直接写出与的关系：_____；与的位置关系：_____．

（2）当，其他条件不变时，的度数是多少？（用含的代数式表示）

（3）若是等边三角形，，是边上的三等分点，直线与直线交于点，求线段的长．

Answer 1

【答案】（1），；（2）或；（3）的长为或

【解析】

（1）根据SAS证明即可；根据平行线的性质和余角的性质证明∠ADE+∠ADB=90°即可；
（2）分两种情形讨论求解即可，①如图2中，当点E在AN的延长线上；②如图3中，当点E在NA的延长线上；结合外角的性质求解；
（3）分两种情形求解即可，①如图4中，当BN=BC=时，作AK⊥BC于K，证明△AKN≌△DCF即可得出结论；②如图5中，当CN=BC=时，作AK⊥BC于K，DH⊥BC于H，证明△AKN≌△DHF即可得出结论.

解：（1）证明：如图1中，∠ACB=90°，

，，

即，

，

在△BCM和△ACN中，

，

（SAS）；

，

，

，

，

，，

，

，

，

，

即BD与DE的位置关系为：BD⊥DE；

（2）解：如图2中，当点在的延长线上时，

∵AG∥BC，

∠ANB=∠CAN+∠ACB=∠EAD=∠CAN+∠CAD，

∴，，

，

，

，

．

如图3中，当点在的延长线上时，

可得，

，

，

．

综上所述，或．

故答案为：或；

（3）解：如图4中，当时，作于．

，

，

=BC，，

∴KC=AD，

∴四边形AKCD为平行四边形，而AK⊥KC，

则四边形是矩形，

∵AE=DE，

∴∠EAD=∠EDA，

∵AG∥BC，

∴∠EAD=∠ANK=∠DFC=∠EDA，

在△AKN和△DCF中，

∴△AKN≌△DCF（AAS），

；

如图5中，当时，作于，于．

，

，

，

∵AK⊥AD，DH⊥AD，AG∥BC，

∴四边形AKHD为矩形，

∴AK=DH，AD=KH，

∵△ABC为等边三角形，AK⊥BC，

∴BK=CK=，

∴AK=,

则，

∵AE=DE，

∴∠EAD=∠EDA，

∴∠KAN=∠HDF，

在△AKN和△DHF中，

，

∴（ASA），

∴，

．

综上所述，的长为或．