Question

【题目】已知二次函数y＝（x﹣m）2+2（x﹣m）（m为常数）

（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个不同的公共点；

（2）当m取什么值时，该函数的图象关于y轴对称？

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）当m＝1时，该函数的图象关于y轴对称．

【解析】

（1）若证明二次函数与x轴总有两个不同的公共点，只需令y＝0，得到一元二次方程（x﹣m）2+2（x﹣m）＝0，计算方程的判别式b2﹣4ac＞0即可；

（2）若二次函数的图象关于y轴对称，则对称轴x＝﹣＝0，计算即可得到m的值．

（1）证明：令y＝0，则（x﹣m）2+2（x﹣m）＝0，即x2+（2﹣2m）x+m2﹣2m＝0，

∵△＝（2﹣2m）2﹣4×1×（m2﹣2m）＝4＞0，

∴方程x2+（2﹣2m）x+m2﹣2m＝0有两个不相等的实数根，

∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个不同的公共点；

（2）二次函数y＝（x﹣m）2+2（x﹣m）＝x2+（2﹣2m）x+m2﹣2m，

∵函数的图象关于y轴对称，

∴x＝﹣＝0，

解得m＝1，

∴当m＝1时，该函数的图象关于y轴对称．