Question

【题目】如图，以AB为直径作⊙O，过点A作⊙O的切线AC，连结BC，交⊙O于点D，点E是BC边的中点，连结AE．

（1）求证：∠AEB=2∠C；

（2）若AB=6，，求DE的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】分析：（1）由AC是⊙O的切线，得出∠BAC=90°．再利用直角三角形斜边中线定理、等腰三角形的性质、三角形的外角即可证出结论；

（2）连结AD，由圆周角定理的推论可得出∠ABD=90°．然后利用锐角三角函数即可得出答案.

详解：（1）证明：∵AC是⊙O的切线，

∴∠BAC=90°，

∵点E是BC边的中点，

∴AE=EC，

∴∠C=∠EAC，

∵∠AEB=∠C+∠EAC，

∴∠AEB=2∠C．

（2）解：连结AD．

∵AB为直径作⊙O，

∴∠ABD=90°，

∵AB=6，，

∴BD=，

在Rt△ABC中，AB=6，，

∴BC=10，

∵点E是BC边的中点，

∴BE=5，

∴．