Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系xoy中，二次函数的图象与x轴的交点为A，B，顶点为C，点D为点C关于x轴的对称点，过点A作直线l：交BD于点E，连接BC的直线交直线l于K点.

（1）问：在四边形ABKD内部是否存在点P，使它到四边形ABKD四边的距离都相等？

若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（2）若M，N分别为直线AD和直线l上的两个动点，连结DN，NM，MK，如图2，求DN+NM+MK和的最小值.

Answer 1

【答案】(1) 四边形ABCD内部存在点P（2，）到四边形ABCD四边的距离相等；（2）8.

【解析】

（1）由抛物线解析式求点A、B、C、D的坐标，求直线BC解析式，把直线BC与直线l的解析式联立方程组，求得的解为点K坐标，因此求得AB=BK=KD=AD=4，即四边形ABKD为菱形．由菱形性质可知对角线平分一组对角，故对角线AK、BD交点E在菱形四个内角的平分线上，所以点E到四边距离相等，即为符合题意的点P．

（2）由菱形性质可知点B、D关于直线AK对称，故有DN=BN，所以当点B、N、M在同一直线上时，DN+MN=BN+MN=BM最小．作点K关于直线AD对称点Q，得MK=MQ，所以当点Q、M、B在同一直线上时，BM+MK=BM+MQ=BQ最小，即BQ的长为DN+NM+MK的最小值．由AK平分∠DAB可求得点K到直线AD距离等于点K的纵坐标，进而求得KQ的长；再由BK∥AD得∠BKQ=∠DRQ=90°，利用勾股定理即求得BQ的长．

（1）在四边形ABKD内部存在点P到四边形ABKD四边的距离都相等．

当y=0时，

解得：x1=-1，x2=3

∴A（-1，0），B（3，0），AB=4

∵

∴顶点C（1，-2）

∵点D为点C关于x轴的对称点

∴D（1，2），

设直线BC解析式为y=bx+c

∴, 解得：

∴直线BC：

∵,解得：

∴K（5，2）

∴，DK∥x轴，DK=5-1=4

∴AB=BK=DK=AD=4

∴四边形ABKD是菱形

∴对角线AK、BD平分一组对角，

∴AK、BD交点E（1，）到菱形四边距离相等

∴点P与点E重合时，即符合题意的点

∴在四边形ABKD内部存在点P（1，）到四边形ABKD四边的距离都相等．

（2）过点K作KF⊥x轴于点F，作点K关于直线AD的对称点Q，KQ与直线AD相交于点R，连接MQ、QB、NB

∵菱形ABKD中，AK与BD互相垂直平分

∴点B、D关于直线AK对称

∴DN=BN

∴当点B、N、M在同一直线上时，DN+NM=BN+NM=BM最小

∵点K、Q关于直线AD对称

∴KQ⊥AD，QR=KR，MK=MQ

∴当点Q、M、B在同一直线上时，BM+MK=BM+MQ=BQ最小

∴BQ的长为DN+NM+MK的最小值

∵AK平分∠DAB，KF⊥AB，KR⊥AD，yK=2

∴KF=KR=2

∴KQ=2KR=4

∵BK∥AD

∴∠BKQ=∠DRQ=90°

∴Rt△BKQ中，BQ=

∴DN+NM+MK和的最小值为8．