Question

9．如图，正方形纸片ABCD的边长为6，E为AB的三等分点，F为DC的三等分点，O为EF中点，将正方形纸片折叠使R与O重合，折痕为MN，使D与O重合，折痕为PQ，连接PM，则PM=$\frac{115}{24}$．

Answer 1

分析 先过O作OH⊥AD于H，设BM=OM=x，DP=OP=y，则EM=4-x，HP=3-y，Rt△EOM中根据勾股定理，得到方程（4-x）²+3²=x²，Rt△HOP中，根据勾股定理得到方程（3-y）²+2²=y²，进而得出AM，AP的长，最后根据勾股定理即可得到PM的长．

解答 解：如图所示，过O作OH⊥AD于H，

由题可得EB=4，DH=3，OH=2，OE=3，
设BM=OM=x，DP=OP=y，则EM=4-x，HP=3-y，
Rt△EOM中，（4-x）²+3²=x²，
Rt△HOP中，（3-y）²+2²=y²，
解得x=$\frac{25}{8}$，y=$\frac{13}{6}$，
∴AM=6-$\frac{25}{8}$=$\frac{23}{8}$，AP=6-$\frac{13}{6}$=$\frac{23}{6}$，
∴Rt△APM中，PM=$\sqrt{A{M}^{2}+A{P}^{2}}$=$\frac{115}{24}$．
故答案为：$\frac{115}{24}$．

点评 本题主要考查了折叠问题以及正方形的性质的综合应用，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．解决问题的关键是设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．