Question

4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，将△ABC沿直线AC翻折，点B落在点B′处，且AB′∥BD，连接B′D．
求证：（1）△ABO是等边三角形．
（2）B′D∥AC．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是矩形，得到∠BAD=90°，AO=OD，得到∠OAD=∠ADO，根据平行线的性质得到∠B′AD=∠ADB，等量代换得到∠B′AD=∠DAC，根据折叠的性质得到∠BAC=∠CAB′，得到∠DAC=$\frac{1}{2}∠$BAC，求得∠BAC=60°，于是得到结论；
（2）连接B′O，推出B′C垂直平分OD，得到B′O=B′D，根据等腰三角形的性质得到∠OB′C=∠OCB′=30°，求得∠OCB′=∠CB′D，于是得到结论．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，AO=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∵AB′∥BD，
∴∠B′AD=∠ADB，
∴∠B′AD=∠DAC，
∵将△ABC沿直线AC翻折，点B落在点B′处，
∴∠BAC=∠CAB′，
∴∠DAC=$\frac{1}{2}∠$BAC，
∴∠BAC=60°，
∵OA=OB，
∴△ABO是等边三角形；
（2）连接B′O，
∵∠COD=∠AOB=60°，∠ACB′=∠ACB=30°，
∴CB′⊥OD，
∵CD=OC，
∴B′C垂直平分OD，
∴B′O=B′D，
∵AO=CO，∠AB′C=90°，
∴B′O=OC，
∴∠OB′C=∠OCB′=30°，
∴∠DB′C=∠OB′C=30°，
∴∠OCB′=∠CB′D，
∴B′D∥AC．

点评 本题考查了翻折变换-折叠问题，矩形的性质，平行线的判定，线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的判定，正确的作出辅助线是解题的关键．